MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam-se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa-se ?, a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando ? = 90° é A. Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2, o valor de ? é, necessariamente, igual a [IMAGEM] [FUVEST 2020 - Questão 16] FUVEST - 2020

A) 15°.
B) 22,5°.
C) 30°.
D) 45°.
E) 60°.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Seja a e b os comprimentos dos lados do paralelogramo e θ o menor ângulo interno. A área de um paralelogramo é a área = a·b·sen(θ), pois a altura relativa à base a é b·sen(θ). Passo 2: Quando θ = 90°, sen(90°) = 1, então a área vale A = a·b. Passo 3: Para a área ser A/2, devemos ter a·b·sen(θ) = (a·b)/2, ou seja, sen(θ) = 1/2. Passo 4: Os ângulos cujo seno vale 1/2 são 30° e 150°. Como θ é o menor ângulo interno, ele é necessariamente menor ou igual a 90°, logo θ = 30°. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A) 15° resulta de usar sen(2θ) = 1/2, o que dobra o ângulo indevidamente. B) 22,5° resulta de usar sen(2θ) = raiz de 2 / 2, combinação sem base na fórmula da área. D) 45° resulta de elevar o seno ao quadrado, sen^2(θ) = 1/2, o que não corresponde à fórmula da área. E) 60° resulta de usar cos(θ) = 1/2 na fórmula da área, trocando seno por cosseno. Assim, a resposta correta é 30°, alternativa C.

💡 Dica: Use a relação entre o ângulo interno e a área do paralelogramo para encontrar o valor de θ.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno acha que a área depende de sen(2θ) e, ao resolver sen(2θ) = 1/2, obtém 2θ = 30° e θ = 15°, dobrando o ângulo sem justificativa.

B Erradaerro: Conceitual

O aluno usa uma relação trigonométrica inventada, como sen(2θ) = raiz de 2 / 2, e chega a θ = 22,5°, sem relacionar corretamente a área com o seno do ângulo interno.

C Correta

É a resposta que o enunciado sustenta.

D Erradaerro: Conceitual

O aluno acredita que a área é proporcional ao quadrado do seno, sen^2(θ), e então resolve sen^2(θ) = 1/2 obtendo θ = 45°.

E Erradaerro: Conceitual

O aluno usa a projeção do lado b sobre a base, b·cos(θ), como altura, confundindo a altura com cosseno, e resolve cos(θ) = 1/2 obtendo θ = 60°.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

paralelogramo, área, ângulo interno

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

propriedades do paralelogramo · cálculo de área

📚 Reveja

Revisar propriedades do paralelogramo e cálculo de área em função do ângulo interno.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a relação entre ângulo interno e área, escolhendo um ângulo que não corresponde à metade da área do paralelogramo.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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