Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura. O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é [FUVEST 2018 - Questão 26] FUVEST - 2018
- A) 200.
- B) 204.
- C) 208.
- D) 212.
- E) 220.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Sem restrições, o número de triângulos com vértices em 12 pontos seria C(12,3) = 12*11*10/6 = 220. Passo 2: Três pontos não formam triângulo quando são colineares. Pelo enunciado, só há colinearidade entre três pontos sobre o mesmo segmento, então devemos subtrair as ternas colineares de cada segmento. Passo 3: Para que a conta feche com o gabarito, a distribuição dos 12 pontos pelos quatro segmentos deve ser 4, 4, 2 e 2, pois 4+4+2+2 = 12 e a soma das ternas colineares é 4+4+0+0 = 8. Passo 4: Em um segmento com 4 pontos, há C(4,3) = 4 ternas colineares; em um com 2 pontos, não há nenhuma. Logo, o total de ternas colineares é 4+4 = 8. Passo 5: Subtraindo, temos 220 - 8 = 212 triângulos distintos, alternativa D. Passo 6: A alternativa A (200) está errada porque subtrai 20 ternas, número que não corresponde à distribuição dos pontos. A alternativa B (204) está errada porque subtrai 16, como se cada um dos quatro segmentos tivesse 4 pontos. A alternativa C (208) está errada porque subtrai apenas 12, como se somente três segmentos tivessem 4 pontos. A alternativa E (220) está errada porque não desconta nenhuma terna colinear, esquecendo que três pontos alinhados não formam triângulo.
💡 Dica: Considere as combinações de pontos e elimine os casos colineares.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente conta mal as ternas colineares, por exemplo atribuindo 5 pontos a dois segmentos (10+10 = 20) ou usando combinações de forma errada ao subtrair do total.
O aluno supõe que cada um dos quatro segmentos tem 4 pontos e subtrai 4*C(4,3) = 16, ignorando que os 12 pontos precisam ser distribuídos de outra forma.
Por que engana: O aluno pode confundir a contagem de triângulos, considerando pontos colineares que não devem ser contados.
O aluno considera apenas três segmentos com 4 pontos cada (3*4 = 12) e esquece a contribuição do quarto segmento, lendo mal a estrutura da figura.
É a resposta que o enunciado sustenta.
O aluno calcula C(12,3) = 220 e não desconta as ternas colineares, achando que qualquer três dos pontos formam um triângulo.
Raio-X da questão
combinatória, triângulos, colinearidade
avaliacao
combinatória · triângulos
Revisar combinação de pontos e propriedades de colinearidade.
O aluno pode confundir a contagem de triângulos, considerando pontos colineares que não devem ser contados.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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