No sistema linear { ax - y = 1 y + z = 1 x + z = m , nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No sistema linear { ax - y = 1 y + z = 1 x + z = m , nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar: [FUVEST 2015 - Questão 50] FUVEST - 2015
- A) No caso em que a = 1, o sistema tem solução se, e somente se, m = 2.
- B) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
- C) No caso em que m = 2, o sistema tem solução se, e somente se, a = 1.
- D) O sistema só tem solução se a = m = 1.
- E) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Resolvendo por conta própria. Da segunda equação, z = 1 - y. Substituindo na terceira: x + 1 - y = m, ou seja, x - y = m - 1. Subtraindo essa igualdade da primeira equação (ax - y = 1), obtemos (a - 1)x = 2 - m. Passo 2: Caso a = 1, a equação fica 0x = 2 - m. Isso só tem solução se m = 2, e nesse caso o sistema x - y = 1, y + z = 1 tem infinitas soluções. Logo, para a = 1, o sistema tem solução se e somente se m = 2. Passo 3: Caso a diferente de 1, x = (2 - m)/(a - 1) e, em seguida, y e z ficam determinados. O sistema tem sempre solução. Passo 4: Conclusão: a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: B falha porque, com a = 1 e m diferente de 2, não há solução. C falha porque, com m = 2, a equação (a - 1)x = 0 é satisfeita por x = 0 para qualquer a, logo a = 1 não é necessário. D falha porque, por exemplo, com a = 2 e m = 0 o sistema tem solução (x = 2, y = 3, z = -2), sem exigir a = m = 1. E falha porque, para a diferente de 1, o sistema sempre tem solução.
💡 Dica: Analise as condições de existência e número de soluções do sistema linear.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Com a = 1, o sistema tem solução apenas se m = 2.
O aluno supõe que um sistema com três equações e três incógnitas sempre é compatível, sem perceber que, para a = 1, o coeficiente de x se anula e surge uma condição sobre m.
Por que engana: Confundir as condições de existência de soluções em sistemas lineares, aplicando incorretamente os valores de a e m.
O aluno acredita que a condição de compatibilidade depende de a quando m = 2, invertendo o papel dos parâmetros; não percebe que (a - 1)x = 0 é sempre satisfeita por x = 0.
O aluno acha que a existência de solução exige valores específicos de a e m, talvez por ter testado apenas um caso particular ou confundido a condição do caso a = 1 com uma condição geral.
O aluno supõe que as equações se contradizem em qualquer caso, sem perceber que a contradição surge apenas quando a = 1 e m é diferente de 2.
Raio-X da questão
sistema linear, soluções, parâmetros
avaliacao
sistemas lineares · análise de parâmetros
Revisar resolução de sistemas lineares e análise de parâmetros em sistemas.
Confundir as condições de existência de soluções em sistemas lineares, aplicando incorretamente os valores de a e m.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- Considere o sistema linear { x + 2y = 4 \ 3x - y = 5 . Assinale a alternativa que representa graficamente esse sistema…
- Se os números x_0, y_0 e z_0 constituem a única solução do sistema linear {ax + y = 1, by + z = 1, x + cz = 1}, onde a…
- A figura ilustra graficamente uma região de um bairro, com ruas ortogonais entre si. O ponto X indica um condomínio…
- A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x² + (1+5m-3m²)x + (m²+1) = 0 é igual a [FUVEST 2008 -…
- Sobre a equação (x + 3)2^x²-9 log|x² + x - 1| = 0, é correto afirmar que [FUVEST 2014 - Questão 40] FUVEST - 2014
- Em relação ao plano cartesiano Oxy, é correto afirmar que as equações \( x^2 + y^2 - 4x = -3 \) e \( x^2 + y^2 - 4y = -3…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog