Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma…

Questão

Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r ; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h ; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x/h é igual a [FUVEST 2009 - Questão 78] FUVEST - 2009

1. A) v3/6
2. B) v3/3
3. C) 2v3/3
4. D) v3
5. E) 4v3/3

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Calcule o volume da semi-esfera de raio r: V1 = (1/2)(4/3)pi r^3 = (2/3)pi r^3.
2. Calcule o volume do cone reto de raio da base 2r e altura h: V2 = (1/3)pi (2r)^2 h = (4/3)pi r^2 h.
3. Calcule o volume do cilindro de raio x e altura h: V3 = pi x^2 h.
4. Como os três volumes são iguais, iguale V1 e V2: (2/3)pi r^3 = (4/3)pi r^2 h. Cancelando (2/3)pi r^2 dos dois lados, obtemos r = 2h.
5. Iguale V1 e V3: pi x^2 h = (2/3)pi r^3. Substituindo r = 2h, temos (2/3)pi (8h^3) = (16/3)pi h^3. Logo x^2 h = (16/3) h^3, ou seja, x^2 = (16/3) h^2.
6. Tirando a raiz, x/h = raiz de (16/3) = 4/raiz de 3 = 4 raiz de 3 / 3, que é a alternativa E. Assim, o gabarito oficial está correto.
7. Por que as outras estão erradas: A) raiz de 3 / 6 surge se o raio do cone for tomado como r, e não 2r. B) raiz de 3 / 3 não corresponde a nenhuma relação correta entre os volumes. C) 2 raiz de 3 / 3 surge se o volume da semi-esfera for tomado como o da esfera inteira. D) raiz de 3 não resulta de nenhuma substituição correta das relações acima.

💡 Dica: Calcule os volumes das três taças e iguale-os para encontrar a relação x/h.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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