Quantas senhas de 4 dígitos existem se o primeiro dígito não pode ser zero e os outros podem ser 0–9?
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas simples de contagem envolvendo o princípio multiplicativo, como a determinação do número de agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de uma coleção com todos os elementos de outra coleção, por meio de diagramas de árvore ou por tabelas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Quantas senhas de 4 dígitos existem se o primeiro dígito não pode ser zero e os outros podem ser 0–9?
- A) 900 senhas, ao considerar cada dígito como 1 opção.
- B) 1000 senhas, pois só há 1 opção para o primeiro dígito.
- C) 8000 senhas possíveis com 0 no primeiro dígito.
- D) 9000 senhas.
- E) 10.000 senhas, já que todos os dígitos podem ser 0–9.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique as restrições. A senha tem 4 dígitos, o primeiro não pode ser zero (portanto vai de 1 a 9, ou seja, 9 opções) e cada um dos outros três pode ser qualquer dígito de 0 a 9 (10 opções cada).
- Aplique o princípio multiplicativo, pois as escolhas são independentes: 9 (primeiro dígito) x 10 (segundo) x 10 (terceiro) x 10 (quarto).
- Calcule 9 x 10 x 10 x 10 = 9000. Logo, existem 9000 senhas possíveis, o que corresponde à alternativa D.
- Verificação. Sem a restrição existiriam 10.000 senhas (de 0000 a 9999). Como o primeiro dígito não pode ser zero, retiram-se as senhas que começam com zero, que são 1000 (de 0000 a 0999). Assim, 10.000 - 1000 = 9000, confirmando o resultado.
- Por que as outras estão erradas. A (900) esquece um dos três dígitos livres. B (1000) trata o primeiro dígito como se tivesse uma única opção, o que contradiz a regra. C (8000) exclui indevidamente duas opções do primeiro dígito. E (10.000) ignora a restrição do enunciado de que o primeiro dígito não pode ser zero.
- Conclusão. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Calcule as possibilidades para cada dígito separadamente.
Alternativa por alternativa
O aluno considerou apenas 9 opções para o primeiro dígito e 10 para o segundo, deixando de multiplicar pelo terceiro ou pelo quarto dígito. Assim, ele conta só parte das posições da senha.
Por que engana: O aluno pode confundir a quantidade de opções para o primeiro dígito, considerando erroneamente que ele pode ser zero.
O aluno acredita que, por o primeiro dígito não poder ser zero, ele teria apenas uma opção. Na verdade, há 9 opções (1 a 9), e a restrição não elimina o dígito, apenas exclui o zero.
O aluno exclui duas opções do primeiro dígito, em vez de apenas o zero, e usa 8 opções em vez de 9. Ele confunde a restrição com uma eliminação maior do que a descrita no enunciado.
Primeiro dígito: 9 opções (1–9). Cada um dos outros três tem 10 opções (0–9). Total = 9×10×10×10 = 9000.
O aluno lê que os dígitos podem ser de 0 a 9 e aplica essa regra a todas as posições, ignorando que o primeiro dígito não pode ser zero. Por isso, conta todas as combinações possíveis de 4 dígitos.
Raio-X da questão
combinações de dígitos
avaliacao
cálculo de combinações · números e dígitos
Revisar o cálculo de combinações e permutações.
O aluno pode confundir a quantidade de opções para o primeiro dígito, considerando erroneamente que ele pode ser zero.
tomada_decisao
abstrato
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