Quantos códigos de quatro dígitos existem se o primeiro dígito não pode ser zero e os demais podem ser…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Quantos códigos de quatro dígitos existem se o primeiro dígito não pode ser zero e os demais podem ser quaisquer dígitos de 0 a 9?
- A) 9·10·10·10 = 9000 códigos.
- B) 1.000 códigos, pois apenas repete 1 a 9 nas 4 posições.
- C) 900 códigos, limitando opções a 9 para todos os dígitos.
- D) 10.000 códigos, todos com 10 opções em cada dígito.
- E) 1000 códigos, o primeiro pode ser de 0 a 9.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o que a questão pede: contar os códigos de quatro dígitos em que o primeiro dígito não pode ser zero, enquanto os outros três podem ser qualquer dígito de 0 a 9.
- Analise a primeira posição. Os dígitos possíveis são 0 a 9, são 10 no total, mas o zero é proibido. Restam 9 opções: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
- Analise as demais posições. Como não há restrição, cada uma das três posições restantes tem 10 opções (0 a 9).
- Aplique o princípio multiplicativo: 9 · 10 · 10 · 10 = 9000 códigos.
- Compare com o gabarito oficial. A alternativa A está correta e coincide com o gabarito.
- Por que as outras estão erradas: a B exige que todos os dígitos sejam de 1 a 9, o que ignora que os demais podem ser zero; a C restringe indevidamente todos os dígitos a 9 opções; a D desconsidera a proibição do zero na primeira posição; a E contabiliza apenas 1000 códigos, como se as posições restantes tivessem uma única opção.
💡 Dica: Calcule as possibilidades para cada dígito considerando as restrições.
Alternativa por alternativa
O primeiro dígito tem 9 opções (1–9) e cada um dos três seguintes tem 10 opções; aplicar o princípio multiplicativo.
O aluno acredita que todas as quatro posições devem usar apenas os dígitos de 1 a 9, esquecendo que a restrição vale só para o primeiro dígito e que os demais podem ser 0.
Por que engana: Confundir a quantidade de opções para o primeiro dígito, considerando que ele não pode ser zero, e aplicar a mesma lógica para todos os dígitos.
O aluno aplica a restrição do zero a todas as posições, subtraindo uma opção em cada dígito (9·9·9·9 = 6561, ou arredonda para 900), em vez de restringir apenas o primeiro dígito.
O aluno ignora a condição de que o primeiro dígito não pode ser zero e considera 10 opções para cada uma das quatro posições.
O aluno confunde a quantidade de opções com a quantidade de códigos, supondo que o primeiro dígito tem todas as opções e as demais posições resultam em apenas uma combinação possível.
Raio-X da questão
códigos de quatro dígitos
avaliacao
cálculo de combinações · números de 0 a 9
Revisar combinações e permutações em problemas de contagem.
Confundir a quantidade de opções para o primeiro dígito, considerando que ele não pode ser zero, e aplicar a mesma lógica para todos os dígitos.
tomada_decisao
abstrato
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