Em uma prova, 8 atletas disputam as três posições do pódio: ouro, prata e bronze. De quantas maneiras…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma prova, 8 atletas disputam as três posições do pódio: ouro, prata e bronze. De quantas maneiras distintas essas três posições podem ser ocupadas?
- A) 24
- B) 48
- C) 336
- D) 192
- E) 120
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique o tipo de contagem. Como ouro, prata e bronze são posições diferentes, a ordem importa: atleta X em ouro e atleta Y em prata é diferente de Y em ouro e X em prata. Trata-se, portanto, de um arranjo de 8 atletas tomados 3 a 3, e não de uma combinação.
- Conte as escolhas posição por posição. Para o ouro há 8 atletas possíveis. Escolhido o campeão, restam 7 para a prata. Escolhido o prateado, restam 6 para o bronze.
- Aplique o princípio multiplicativo: 8 x 7 x 6 = 336. Esse é o número de maneiras distintas de preencher o pódio. Também vale a fórmula A(8,3) = 8! / (8-3)! = 8! / 5! = 336.
- Compare com o gabarito oficial. O gabarito C (336) está correto e coincide com o resultado obtido por conta própria.
- Por que as outras estão erradas. A) 24 corresponde a 4! ou 4 x 3 x 2, como se houvesse apenas 4 atletas. B) 48 é fruto de 8 x 6, ou seja, pulando o fator da prata. D) 192 resulta de 8 x 8 x 3, usando escolhas com repetição, o que não faz sentido porque um atleta não pode ocupar duas posições. E) 120 é o valor de 5! ou de uma combinação C(10,3), que não correspondem à contagem ordenada de 3 posições entre 8 atletas.
💡 Dica: Calcule o número de permutações de 8 atletas em 3 posições.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tomou 4 atletas ou calculou 4 x 3 x 2, ou ainda usou 3! multiplicado por algum valor errado, como se o número de atletas fosse 4 e não 8.
O aluno calculou 8 x 6 e esqueceu a etapa da prata, ou seja, tratou apenas duas posições no processo de contagem.
Escolhas sequenciais sem repetição: 8 opções para ouro, depois 7 para prata e 6 para bronze ? 8×7×6 = 336 maneiras.
O aluno calculou 8 x 8 x 3, permitindo que o mesmo atleta ocupasse mais de uma posição e misturando o número de posições com a quantidade de atletas.
Por que engana: Confundir o número de posições a serem ocupadas com o total de atletas, calculando incorretamente as permutações.
O aluno usou um fatorial ou uma combinação, como 5! ou C(10,3), confundindo arranjo com combinação ou aplicando uma fórmula sem relação com a situação de pódio ordenado.
Raio-X da questão
permutação de atletas
avaliacao
permutação simples · fatorial
Revisar o conceito de permutação e como calcular.
Confundir o número de posições a serem ocupadas com o total de atletas, calculando incorretamente as permutações.
tomada_decisao
cotidiano
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