Quantas senhas de 6 caracteres podem ser formadas usando exatamente 3 letras distintas (A–Z) e 3 dígitos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Quantas senhas de 6 caracteres podem ser formadas usando exatamente 3 letras distintas (A–Z) e 3 dígitos distintos (0–9), sem repetição, se as 6 posições podem ser ocupadas por letras ou dígitos em qualquer ordem?
- A) 120000 senhas, considerando 6 posições fixas para letras e dígitos.
- B) 200000 senhas, pois permutações não precisam de escolha de posições.
- C) 500000 senhas, pois consideramos 5 letras e 1 dígito ao invés de 3 e 3.
- D) 100000 senhas, pois repetimos letras e dígitos em qualquer ordem.
- E) 224640000
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o que a questão pede. Queremos senhas de 6 caracteres com exatamente 3 letras distintas (de A a Z, 26 opções) e 3 dígitos distintos (de 0 a 9, 10 opções), sem repetição, e com as 6 posições podendo receber letras ou dígitos em qualquer ordem.
- Escolha as 3 letras distintas. A ordem não importa nessa etapa, então é uma combinação: C(26,3) = (26 x 25 x 24) / 6 = 2600.
- Escolha os 3 dígitos distintos. Também é combinação: C(10,3) = (10 x 9 x 8) / 6 = 120.
- Os 6 símbolos escolhidos (3 letras e 3 dígitos) são todos distintos. Organizá-los nas 6 posições, com qualquer ordem, é uma permutação: 6! = 720. Aqui entram as posições das letras e dos dígitos, que já estão contadas dentro dessa permutação.
- Multiplique as etapas, pois são escolhas independentes: 2600 x 120 x 720 = 224640000.
- Compare com o gabarito oficial. O resultado obtido é 224640000, igual à alternativa E, então o gabarito está correto.
- Por que as outras estão erradas: A ignora a escolha das letras e a ordem das posições; B ignora a ordenação dos caracteres; C troca a composição pedida (5 letras e 1 dígito em vez de 3 e 3); D admite repetição, o que o enunciado proíbe.
💡 Dica: Calcule as combinações de letras e dígitos e depois as permutações.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula apenas a escolha dos dígitos (120) e multiplica por um valor fixo de 1000, tratando as posições como fixas. Não considera a escolha das letras nem a permutação dos caracteres.
O aluno acredita que, por se tratar de permutações, não é preciso considerar a organização dos caracteres nas posições. Isso leva a ignorar o fator de ordenação e a subcontar o total.
O aluno lê mal o enunciado e troca a composição pedida (3 letras e 3 dígitos) por 5 letras e 1 dígito, o que altera as combinações e o total.
Por que engana: Confundir o número de combinações possíveis com o número de permutações, levando a um cálculo incorreto das senhas.
O aluno desconsidera a restrição 'sem repetição' e trata as letras e os dígitos como se pudessem se repetir. Assim, o cálculo deixa de ser feito com combinações e permutações sem repetição.
Escolha das 3 posições para letras: C(6,3)=20; permutações das letras: P(26,3)=26×25×24; permutações dos dígitos: P(10,3)=10×9×8. Total = 20×15600×720 = 224640000.
Raio-X da questão
combinações e permutações
avaliacao
permutacoes e combinacoes · contagem de possibilidades
Revisar combinações e permutações em problemas de contagem.
Confundir o número de combinações possíveis com o número de permutações, levando a um cálculo incorreto das senhas.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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