Dado um conjunto finito de pares (xi, yi) com xi distintos, descreva um procedimento computacional para…

Questão

Dado um conjunto finito de pares (xi, yi) com xi distintos, descreva um procedimento computacional para verificar se existe um a tal que yi = a·xi^2 para todo i, calcular a quando existir, e decidir se a relação contínua y = a x^2 apresenta ponto de máximo ou mínimo. Explique também como tratar casos com valores numéricos aproximados.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Procedimento modelo: 1) Se todos os xi forem zero, verificar se todos os yi são zero; se sim, qualquer a é válido (indeterminado) ou tratar como caso especial; se não, não existe a. 2) Escolher um índice j com xj ? 0; calcular a = yj / (xj^2). 3) Para cada i, verificar se |yi - a·xi^2| = e (tolerância numérica escolhida) — se algum violar, rejeitar hipótese; caso contrário aceitar a. 4) Se aceitar, para a contínua y = a x^2: se a > 0 há mínimo global no vértice (0,0); se a < 0 há máximo global no vértice (0,0); se a = 0 a função é constante y=0. 5) Observações de implementação: usar tolerância relativa/absoluta adequada para evitar falsos negativos com floats; escolher j com |xj| máximo para reduzir erro; complexidade O(n).

Explicação

O procedimento proposto aborda a verificação da relação entre os pares de dados, considerando casos especiais e tolerâncias numéricas para lidar com imprecisões. A análise do sinal de 'a' permite determinar a natureza da parábola gerada pela função quadrática, identificando se há um ponto de máximo ou mínimo. Além disso, a escolha de um índice com valor distinto de zero e a utilização de uma tolerância adequada garantem a robustez do método diante de erros de cálculo.

Raio-X da questão

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