Em uma turma de 30 alunos, 6 informaram consumir tabaco. Um pesquisador sorteia ao acaso dois alunos para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma turma de 30 alunos, 6 informaram consumir tabaco. Um pesquisador sorteia ao acaso dois alunos para responderem a um questionário. Calcule a probabilidade de ambos serem fumantes (a) quando o sorteio é com reposição e (b) quando é sem reposição. Indique em qual dos casos os eventos são independentes ou dependentes.
- A) Probabilidade de 1/6 ambos serem fumantes com reposição.
- B) Ambos têm probabilidade de 1/15 com reposição, independente.
- C) Ambos são selecionados com probabilidade 1/20 sem reposição.
- D) Ambos têm a mesma probabilidade de 1/25 sem reposição.
- E) Com reposição: 1/25 (0,04) — independentes. Sem reposição: 1/29 (˜0,03448) — dependentes.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique a proporção inicial de fumantes. Há 6 fumantes em 30 alunos, então a probabilidade de sortear um fumante na primeira escolha é 6/30 = 1/5 = 0,2.
- Caso (a), com reposição. O aluno sorteado volta para a turma, então o espaço amostral continua com 30 alunos e 6 fumantes nas duas escolhas. Como as escolhas não se influenciam, os eventos são independentes e a probabilidade conjunta é (1/5) x (1/5) = 1/25 = 0,04.
- Caso (b), sem reposição. Na primeira escolha, a chance é 6/30. Sem reposição, restam 29 alunos, dos quais 5 são fumantes. Na segunda escolha, a chance é 5/29. A probabilidade conjunta é (6/30) x (5/29) = 30/870 = 1/29, aproximadamente 0,03448.
- Classificação. No caso com reposição, os eventos são independentes, pois a composição da turma não muda entre as escolhas. No caso sem reposição, os eventos são dependentes, pois a primeira escolha altera o número de fumantes e de alunos disponíveis para a segunda.
- Conclusão. A alternativa E está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada, pois 1/6 não é a probabilidade de dois fumantes. A alternativa B está errada, pois 1/15 não corresponde ao cálculo com reposição. A alternativa C está errada, pois 1/20 não é o valor sem reposição. A alternativa D está errada, pois 1/25 é o valor com reposição e não o valor sem reposição.
💡 Dica: Calcule a probabilidade separadamente para cada caso e analise a independência.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tomou a proporção de uma única escolha de forma incorreta (por exemplo, 5/30 ou 1/6) e não considerou que são duas escolhas que devem ser multiplicadas. A ideia de dupla ocorrência ficou perdida.
O aluno provavelmente dividiu ou combinou os valores de forma errada, obtendo 2/30 = 1/15, em vez de elevar 1/5 ao quadrado. Assim, confunde o cálculo da probabilidade conjunta com uma operação de divisão ou soma.
Por que engana: Confundir a probabilidade de eventos independentes com a de eventos dependentes, aplicando a mesma fórmula para ambos os casos.
O aluno provavelmente multiplicou 1/5 por 1/4, supondo que restam 4 fumantes ou que a segunda escolha tem probabilidade 1/4. Ele não usa o total correto de 29 alunos restantes e os 5 fumantes restantes.
O aluno provavelmente aplicou o cálculo com reposição, (1/5) x (1/5) = 1/25, mesmo no caso sem reposição. Ele ignora que o espaço amostral muda após a primeira escolha.
Com reposição a probabilidade do segundo sorteio permanece 6/30, portanto P=(6/30)·(6/30)=1/25 (independentes). Sem reposição a primeira retirada altera a composição, P=(6/30)·(5/29)=1/29 (dependentes).
Raio-X da questão
probabilidade com e sem reposição
avaliacao
probabilidade com e sem reposicao · eventos independentes e dependentes
Revisar conceitos de probabilidade e eventos independentes e dependentes.
Confundir a probabilidade de eventos independentes com a de eventos dependentes, aplicando a mesma fórmula para ambos os casos.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
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