Em uma sacola há 10 bolas: 5 vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Considere dois experimentos distintos: (A) retirar…

Questão

Em uma sacola há 10 bolas: 5 vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Considere dois experimentos distintos: (A) retirar duas bolas sucessivamente sem reposição; (B) retirar duas bolas sucessivamente com reposição. Para cada experimento, determine se os eventos “a primeira bola é vermelha” e “a segunda bola é azul” são independentes ou dependentes e calcule a probabilidade de que a primeira seja vermelha e a segunda seja azul.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resposta: Dados: total =10, vermelhas=5, azuis=3. Experimento A (sem reposição): P(primeira vermelha) = 5/10 = 1/2. Se a primeira foi vermelha, restam 9 bolas com 3 azuis ? P(segunda azul | primeira vermelha) = 3/9 = 1/3. Portanto P(primeira vermelha e segunda azul) = (1/2)·(1/3) = 1/6 ˜ 0,1667. Verificação de independência: P(segunda azul) sem informação = 3/10; como 3/9 ? 3/10, os eventos são dependentes. Experimento B (com reposição): P(primeira vermelha) = 5/10 = 1/2. Com reposição a composição volta a ser a mesma, então P(segunda azul) = 3/10. Como os sorteios são independentes, P(primeira vermelha e segunda azul) = (1/2)·(3/10) = 3/20 = 0,15. Verificação de independência: P(segunda azul | primeira vermelha) = 3/10 = P(segunda azul), logo os eventos são independentes. Observação: critério geral — eventos A e B são independentes se e só se P(AnB)=P(A)P(B).

Explicação

No experimento A, a retirada sem reposição altera a quantidade total de bolas, tornando os eventos dependentes, já que a probabilidade da segunda bola ser azul depende do resultado da primeira. No experimento B, a reposição mantém a mesma composição de bolas, resultando em eventos independentes, pois a probabilidade da segunda bola não é afetada pela primeira. A verificação da independência é feita comparando as probabilidades condicionais com as marginais, confirmando a relação entre os eventos.

Raio-X da questão

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