Um sistema de cobrança de energia aplica: custo(x)=0 para 0=x=100; custo(x)=0.5·(x-100) para 100<x=300…

Questão

Um sistema de cobrança de energia aplica: custo(x)=0 para 0=x=100; custo(x)=0.5·(x-100) para 100<x=300; custo(x)=0.5·200+0.8·(x-300) para x>300. Determine onde o custo é crescente ou decrescente e se a função é contínua em x=100 e x=300.

1. A) Função não decrescente; constante em [0,100]; estritamente crescente para x>100; contínua em x=100 e em x=300.
2. B) Custo(x) = x/2 para todo x; crescente em todo o domínio.
3. C) Função não tem limite superior; contínua apenas em x=100.
4. D) Função crescente para todo x; descontinuidade em x=100 e x=300.
5. E) Custo(x) = 0.8·(x-100) para 100<x=300; contínua em x=100.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Leia a função por partes, considerando que o sinal de igualdade do enunciado significa menor ou igual (<=). Assim, custo(x) = 0 para 0<=x<=100; custo(x) = 0,5(x-100) para 100<x<=300; e custo(x) = 100 + 0,8(x-300) para x>300, pois 0,5 vezes 200 é 100. Passo 2: Monotonicidade. No intervalo [0,100] o custo é constante e igual a zero, então não cresce nem decresce ali. Em (100,300] o coeficiente é 0,5, positivo, logo o custo é estritamente crescente. Em (300, infinito) o coeficiente é 0,8, também positivo, logo é estritamente crescente. Como o custo nunca diminui, a função é não decrescente em todo o domínio. Passo 3: Continuidade em x=100. O valor é f(100)=0, o limite pela esquerda é 0 e o limite pela direita é 0,5(100-100)=0. Como os três coincidem, a função é contínua em x=100. Passo 4: Continuidade em x=300. O valor é f(300)=0,5 vezes 200=100, o limite pela esquerda é 100 e o limite pela direita é 100+0,8(300-300)=100. Logo, é contínua em x=300. Passo 5: Conclusão. A alternativa A descreve corretamente o comportamento e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B usa uma única fórmula x/2 e ignora que o custo é zero até 100; C diz que a função é contínua apenas em 100, mas ela também é contínua em 300; D afirma que a função é crescente em todo x, o que não vale no intervalo constante [0,100], e afirma descontinuidades que não existem; E usa 0,8(x-100) na faixa intermediária, quando o coeficiente correto é 0,5, e essa fórmula daria 160 em x=300, valor incompatível com o custo 100.

💡 Dica: Analise as derivadas para determinar o crescimento e a continuidade.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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