Uma calculadora de planejamento financeiro estima o imposto anual T(r), em reais, para uma pessoa com renda…

Questão

Uma calculadora de planejamento financeiro estima o imposto anual T(r), em reais, para uma pessoa com renda anual r, também em reais, considerando r=0. O cálculo segue três faixas: T(r)=0 para 0=r=2000; T(r)=0,10(r-2000) para 2000<r=5000; e T(r)=300+0,20(r-5000) para r>5000. Com base nesse modelo, qual alternativa descreve corretamente a imagem da função T e seu comportamento quanto à continuidade e à diferenciabilidade?

1. A) A imagem de T é [0,∞). A função é contínua em todo o domínio e não é diferenciável apenas no ponto r=5000.
2. B) A imagem de T é [0,∞). A função é contínua em todo o domínio e não é diferenciável nos pontos r=2000 e r=5000.
3. C) A imagem de T é [0,∞). A função é contínua e diferenciável em todo o domínio, inclusive nos pontos r=2000 e r=5000.
4. D) A imagem de T é [0,∞). A função é descontínua em r=2000 e contínua nos demais pontos, não sendo diferenciável em r=5000.
5. E) A imagem de T é [0,300]. A função é contínua em todo o domínio e não é diferenciável nos pontos r=2000 e r=5000.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Interpretacao do modelo. No enunciado, os sinais de desigualdade aparecem como '=' por erro de digitacao. Considero 0 menor ou igual a r menor ou igual a 2000 na primeira faixa, 2000 < r menor ou igual a 5000 na segunda e r > 5000 na terceira, com r maior ou igual a 0. Passo 2: Imagem de T. Na primeira faixa T = 0. Na segunda, T cresce de 0 (em r = 2000) ate 300 (em r = 5000), pois 0,10 x 3000 = 300. Na terceira, T = 300 + 0,20(r - 5000) cresce sem limite, assumindo qualquer valor maior ou igual a 300. Logo T assume todos os valores de 0 ate infinito, e a imagem e [0, infinito). Passo 3: Continuidade. Em r = 2000, T(2000) = 0 pela esquerda e pela direita (0,10 x 0 = 0). Em r = 5000, pela esquerda o valor e 0,10 x 3000 = 300 e pela direita e 300 + 0,20 x 0 = 300. Nao ha saltos, portanto T e continua em todo o dominio. Passo 4: Diferenciabilidade. Em r = 2000, a derivada a esquerda e 0 (T e constante) e a derivada a direita e 0,10; como nao coincidem, T nao e derivavel ali. Em r = 5000, a derivada a esquerda e 0,10 e a derivada a direita e 0,20; tambem nao coincidem, logo T nao e derivavel ali. Passo 5: Conclusao. A alternativa correta e a B, e o gabarito oficial esta correto. Por que as outras estao erradas: A ignora a quina em r = 2000, onde a inclinacao muda de 0 para 0,10. C confunde continuidade com diferenciabilidade, pois a funcao e continua, mas as inclinacoes mudam nos pontos de juncao. D afirma descontinuidade em r = 2000, mas T vale 0 dos dois lados desse ponto. E calcula mal a imagem, que e ilimitada porque a terceira faixa cresce sem limite.

💡 Dica: Analise cada parte da função para determinar a imagem e descontinuidades.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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