Uma urna contém 5 bolinhas vermelhas, 3 azuis e 2 verdes (10 no total). Retiram-se duas bolinhas…

Questão

Uma urna contém 5 bolinhas vermelhas, 3 azuis e 2 verdes (10 no total). Retiram-se duas bolinhas sucessivamente nas situações a seguir: (a) com reposição; (b) sem reposição. Para cada situação, responda: (1) calcule a probabilidade de obter duas bolinhas vermelhas; (2) determine se os eventos “primeira bolinha é vermelha” e “segunda bolinha é vermelha” são independentes ou dependentes, justificando; (3) explique como a escolha entre amostragem com reposição e sem reposição afeta a estimativa da proporção de vermelhas em uma pesquisa amostral e quando é razoável aproximar a amostragem por eventos independentes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Cálculos: (a) Com reposição: P(R1)=5/10=1/2 e P(R2)=5/10=1/2 independentes, logo P(duas vermelhas)=1/2 × 1/2 = 1/4. (b) Sem reposição: P(R1)=5/10=1/2; se R1 ocorreu, restam 4 vermelhas em 9, então P(R2|R1)=4/9. Assim P(duas vermelhas)=1/2 × 4/9 = 4/18 = 2/9. Aqui os eventos são dependentes porque a ocorrência do primeiro altera as probabilidades do segundo. Impacto na amostragem: amostragem sem reposição altera as probabilidades e exige distribuição hipergeométrica para cálculo exato; a variância da estimativa costuma ser menor sem reposição. Quando a população é muito maior que a amostra (regra prática: amostra <˜5% da população), a diferença é desprezível e pode-se aproximar por eventos independentes (amostragem com reposição) para simplificar cálculos.

Explicação

Os cálculos de probabilidade para as duas situações mostram claramente como a reposição mantém a independência dos eventos, enquanto a ausência de reposição altera as chances da segunda extração. A amostragem sem reposição requer uma abordagem diferente devido à alteração nas probabilidades, refletindo a dependência entre os eventos. Quando a amostra é pequena em relação à população, a independência pode ser assumida para simplificar os cálculos, tornando a análise mais prática.

Raio-X da questão

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