Considere dois experimentos aleatórios: a) Lança-se um dado justo e, em seguida, uma moeda justa. Defina A =…

Questão

Considere dois experimentos aleatórios: a) Lança-se um dado justo e, em seguida, uma moeda justa. Defina A = “o dado mostra um número par” e B = “a moeda cai cara”. São A e B independentes? Calcule P(A), P(B) e P(AnB) e conclua. b) Numa urna há 3 bolas vermelhas e 2 azuis. Retiram-se duas bolas sucessivamente, sem reposição. Defina C = “a primeira bola é vermelha” e D = “a segunda bola é vermelha”. Calcule P(C), P(D), P(CnD) e determine se C e D são independentes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) P(A)=3/6=1/2 (números pares: 2,4,6). P(B)=1/2. Como os resultados do dado e da moeda não interferem entre si, P(AnB)=P(A)·P(B)=(1/2)·(1/2)=1/4. Logo A e B são independentes. b) P(C)=3/5 (3 vermelhas em 5). Para P(CnD) (ambas vermelhas): P(CnD)=P(C)·P(D|C)=(3/5)·(2/4)=6/20=3/10. A probabilidade de a segunda bola ser vermelha, sem informação sobre a primeira, é P(D)=3/5 por simetria, mas P(C)·P(D)=(3/5)·(3/5)=9/25=0,36?3/10=0,30. Alternativamente P(D|C)=2/4=1/2?P(D)=3/5. Portanto C e D são dependentes.

Explicação

Os eventos A e B são independentes porque a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro, como demonstrado pelo cálculo de P(AnB) ser igual ao produto de P(A) e P(B). No segundo experimento, C e D são dependentes, pois a probabilidade de D muda com base no resultado de C, evidenciado pela diferença entre P(CnD) e o produto P(C)·P(D). Essa análise mostra como a dependência ou independência entre eventos pode ser determinada através das probabilidades calculadas.

Raio-X da questão

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