Considere uma urna com 6 bolas numeradas: {1,2,3,4,5,6}. a) Retira-se uma bola sem reposição e, em seguida…

Questão

Considere uma urna com 6 bolas numeradas: {1,2,3,4,5,6}. a) Retira-se uma bola sem reposição e, em seguida, lança-se um dado justo (faces 1–6). Defina A = 'a bola retirada tem número par' e B = 'o dado mostra 6'. Determine se A e B são independentes e calcule P(A n B). b) Do mesmo conjunto de 6 bolas, retiram-se duas bolas em sequência, sem reposição. Defina C = '1ª bola é par' e D = '2ª bola é par'. Determine se C e D são independentes e calcule P(C n D). Justifique.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Há 3 números pares na urna (2,4,6) em 6 bolas, então P(A)=3/6=1/2. O lançamento do dado é independente da retirada da bola, logo P(B)=1/6 e A e B são independentes. P(A n B)=P(A)·P(B)=(1/2)·(1/6)=1/12. b) P(C)=3/6=1/2. Se a 1ª bola for par, restam 2 bolas pares entre as 5 restantes, então P(D|C)=2/5. Assim P(C n D)=P(C)·P(D|C)=(1/2)·(2/5)=1/5. Como P(C)·P(D)=(1/2)·(1/2)=1/4?1/5, os eventos C e D são dependentes (a retirada sem reposição altera probabilidades condicionais).

Explicação

Os eventos A e B são independentes porque a probabilidade de um evento não afeta a probabilidade do outro, permitindo o cálculo de P(A n B) como o produto das probabilidades individuais. No caso dos eventos C e D, a retirada da primeira bola altera a quantidade de bolas disponíveis para a segunda, resultando em uma probabilidade condicional que não se mantém constante, caracterizando a dependência entre os eventos. Assim, a análise das probabilidades mostra claramente a relação entre os eventos em cada situação.

Raio-X da questão

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