Considere dois experimentos distintos. (1) Escolhe-se, com igual probabilidade, um número em {1,2,3,4}. Se sai…

Questão

Considere dois experimentos distintos. (1) Escolhe-se, com igual probabilidade, um número em {1,2,3,4}. Se sai 1 ou 2, extrai-se uma carta de um baralho A com 3 vermelhas e 1 preta; se sai 3 ou 4, extrai-se de um baralho B com 1 vermelha e 3 pretas. Seja A = 'foi escolhido 1 ou 2' e B = 'a carta é vermelha'. Determine P(A), P(B), P(AnB) e conclua se A e B são independentes. (2) Em outro experimento, retira-se aleatoriamente uma carta de um baralho C com 2 vermelhas e 2 pretas e, independentemente, gira-se um spinner equilibrado com três setores (R,G,B). Seja C = 'a carta é vermelha' e D = 'o spinner cai em R'. Calcule P(C), P(D), P(CnD) e verifique a independência.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(1) P(A)=2/4=1/2. P(B)=P(escolher 1 ou 2)·P(vermelha|A)+P(escolher 3 ou 4)·P(vermelha|B) = (1/2)·(3/4)+(1/2)·(1/4)=3/8+1/8=1/2. P(AnB)=P(escolher 1 ou 2 e sair vermelha)=(1/2)·(3/4)=3/8. Comparando: P(A)·P(B)=(1/2)·(1/2)=1/4?3/8=P(AnB). Logo A e B são dependentes. (2) P(C)=2/4=1/2. P(D)=1/3. Como os dois mecanismos são independentes, P(CnD)=P(C)·P(D)=(1/2)·(1/3)=1/6. Verificando: P(CnD)=P(C)P(D), portanto C e D são independentes.

Explicação

A primeira parte envolve a análise de dois eventos que dependem um do outro, pois a escolha inicial do número determina qual baralho será utilizado, afetando a probabilidade de extrair uma carta vermelha. Na segunda parte, os eventos são independentes, já que a escolha da carta e o resultado do spinner não influenciam um ao outro, permitindo que suas probabilidades sejam multiplicadas diretamente. Isso demonstra como a dependência ou independência dos eventos altera a forma como calculamos as probabilidades conjuntas.

Raio-X da questão

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