Duas escolas, A e B, compõem um distrito. A escola A tem 40% dos alunos, e 60% deles preferem matemática; a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no cálculo de probabilidades.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Duas escolas, A e B, compõem um distrito. A escola A tem 40% dos alunos, e 60% deles preferem matemática; a escola B tem 60% dos alunos, e 30% deles preferem matemática. Ao escolher um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de ele preferir matemática (M), e os eventos 'pertencer à escola A' e 'preferir matemática' são independentes?
- A) P(M) = 0,45; dependentes.
- B) P(M) = 0,42; dependentes.
- C) P(M) = 0,90; dependentes.
- D) P(M) = 0,42; independentes.
- E) P(M) = 0,24; dependentes.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calcule a probabilidade total de preferir matemática usando a lei da probabilidade total. P(M) = P(A) x P(M|A) + P(B) x P(M|B). Passo 2: Substitua os valores do enunciado: P(A) = 0,40, P(M|A) = 0,60, P(B) = 0,60 e P(M|B) = 0,30. Passo 3: Faça as contas: 0,40 x 0,60 = 0,24 e 0,60 x 0,30 = 0,18. Somando, P(M) = 0,24 + 0,18 = 0,42. Passo 4: Verifique a independência comparando P(M|A) com P(M). Se fossem independentes, P(M|A) deveria ser igual a P(M). Como P(M|A) = 0,60 é diferente de P(M) = 0,42, os eventos 'pertencer à escola A' e 'preferir matemática' são dependentes. Passo 5: Conclusão: a alternativa B está correta, e o gabarito oficial confirma essa resposta. A alternativa A está errada porque a média simples de 0,60 e 0,30 não considera o peso de cada escola. A alternativa C está errada porque soma as taxas sem ponderá-las pela proporção de alunos. A alternativa D está errada porque, embora P(M) = 0,42 esteja correto, a conclusão de independência é falsa. A alternativa E está errada porque considera apenas a escola A e ignora a parcela de alunos da escola B.
💡 Dica: Pondere as probabilidades de cada escola pelo percentual de alunos e compare P(A∩M) com P(A)P(M).
Alternativa por alternativa
Calculou a média simples das porcentagens de preferência (0,60 + 0,30) / 2 = 0,45, tratando as duas escolas como se tivessem o mesmo tamanho.
Por que engana: O aluno pode somar diretamente os percentuais de preferência das duas escolas, sem ponderá-los pela proporção de alunos de cada escola, ou confundir dependência com o valor de P(M).
P(M) = 0,4·0,6 + 0,6·0,3 = 0,42. P(A∩M) = 0,4·0,6 = 0,24, e P(A)·P(M) = 0,4·0,42 = 0,168. Como 0,24 ≠ 0,168, os eventos são dependentes.
Somou diretamente as taxas de preferência 0,60 + 0,30 = 0,90, sem multiplicá-las pela proporção de alunos de cada escola.
Calculou corretamente P(M) = 0,42, mas concluiu que os eventos são independentes, sem comparar P(M|A) = 0,60 com P(M) = 0,42, o que mostra que a condição de independência não vale.
Considerou apenas a parcela da escola A (0,40 x 0,60 = 0,24) e ignorou os alunos da escola B, que também compõem o distrito e preferem matemática.
Raio-X da questão
probabilidade e independência de eventos
avaliacao
probabilidade de eventos e porcentagens · probabilidade conjunta e condicional
Revise probabilidade total e o critério de independência entre eventos.
O aluno pode somar diretamente os percentuais de preferência das duas escolas, sem ponderá-los pela proporção de alunos de cada escola, ou confundir dependência com o valor de P(M).
tomada_decisao
cotidiano
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