Numa caixa há 20 lâmpadas, sendo 5 defeituosas e 15 boas. Retiram-se duas lâmpadas sem reposição. Defina A =…

Questão

Numa caixa há 20 lâmpadas, sendo 5 defeituosas e 15 boas. Retiram-se duas lâmpadas sem reposição. Defina A = 'a primeira lâmpada é defeituosa' e B = 'pelo menos uma das duas lâmpadas é defeituosa'. a) Calcule P(A), P(B) e P(B|A). b) Verifique se A e B são independentes e justifique sua resposta.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) P(A)=5/20=1/4. P(B)=1-P(nenhuma defeituosa)=1-(15/20)·(14/19)=1-(15·14)/(380)=1-210/380=170/380=17/38. P(B|A)=1 porque se a primeira é defeituosa já ocorre "pelo menos uma defeituosa". b) Eventos A e B são dependentes: se fossem independentes teríamos P(B|A)=P(B), mas P(B|A)=1?17/38=P(B), logo dependência.

Explicação

Para calcular P(A), consideramos a proporção de lâmpadas defeituosas em relação ao total. P(B) é obtido pela probabilidade de que, ao retirar duas lâmpadas, pelo menos uma delas seja defeituosa, o que envolve calcular a probabilidade complementar de retirar apenas lâmpadas boas. A relação entre P(B|A) e P(B) demonstra que os eventos não são independentes, pois a ocorrência de A altera a probabilidade de B.

Raio-X da questão

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