Uma urna contém as bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola sem reposição e, em seguida, retira-se outra…

Questão

Uma urna contém as bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola sem reposição e, em seguida, retira-se outra. Defina A = 'a primeira bola é múltiplo de 3' e B = 'a segunda bola é par'. a) Calcule P(A), P(B), P(B|A) e P(A n B). b) Verifique se A e B são independentes e explique por que.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Passo 1 — P(A): múltiplos de 3 em {1,...,10} são {3,6,9} ? 3/10. Passo 2 — P(B): número de pares = {2,4,6,8,10}=5; como as posições são simétricas, P(B)=5/10=1/2 (ou contar pares como segundos em 5·9 pares ordenados de 90, logo 45/90=1/2). Passo 3 — P(A n B): contar pares ordenados (primeiro, segundo) com primeiro ?{3,6,9} e segundo par ? primeiro. Se primeiro=3 ? segundos pares possíveis: 5; se primeiro=6 ? segundos pares possíveis: 4 (6 já foi retirado); se primeiro=9 ? segundos pares possíveis: 5. Total favoráveis = 5+4+5=14. Total de pares ordenados = 10·9=90. Logo P(A n B)=14/90=7/45. Passo 4 — P(B|A)=P(A n B)/P(A)=(7/45)/(3/10)=(7/45)·(10/3)=14/27. Passo 5 — Independência? Compare P(A)·P(B) com P(A n B): P(A)·P(B)=(3/10)·(1/2)=3/20=0,15; P(A n B)=7/45˜0,1556. Como P(A n B) ? P(A)·P(B), A e B são dependentes. Conclusão: A retirada sem reposição altera a composição da urna entre os sorteios, fazendo com que a ocorrência de A influencie a probabilidade de B; por isso há dependência.

Explicação

A solução apresentada detalha o cálculo das probabilidades de eventos envolvendo a retirada de bolas de uma urna, considerando a dependência entre os eventos devido à ausência de reposição. A análise das probabilidades condicionais e a comparação entre P(A n B) e P(A)·P(B) demonstram que a ocorrência de um evento influencia a probabilidade do outro. Isso evidencia que os eventos A e B não são independentes, pois a retirada de uma bola altera a composição da urna e, consequentemente, as chances de ocorrência do segundo evento.

Raio-X da questão

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