Uma caixa contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos e 15 são bons. Retiram-se dois itens em sequência, sem…

Questão

Uma caixa contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos e 15 são bons. Retiram-se dois itens em sequência, sem reposição. Defina A = 'primeiro item é defeituoso' e B = 'segundo item é defeituoso'. (a) Calcule P(A), P(B), P(A n B) e P(B A). (b) A e B são eventos independentes? (c) Calcule P('pelo menos um defeituoso'). Apresente justificativas e procedimentos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de solução: 1) P(A)=5/20=1/4. 2) P(B): por simetria, a probabilidade marginal do segundo selecionado ser defeituoso é também 5/20=1/4. (Verificação: P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)=(4/19)(1/4)+(5/19)(3/4)=19/76=1/4.) 3) P(AnB)=P(A)·P(B|A) com P(B|A)=4/19 ? P(AnB)=(1/4)·(4/19)=1/19. 4) P(B|A)=4/19˜0,2105. 5) Independência: não, pois P(B|A)=4/19 ? P(B)=1/4; portanto A e B são dependentes. 6) P(pelo menos um defeituoso)=1-P(nenhum defeituoso)=1-[(15/20)·(14/19)]=1-(21/38)=17/38. Alternativamente P(A)+P(B)-P(AnB)=1/4+1/4-1/19=17/38, consistente.

Explicação

Os cálculos realizados para as probabilidades consideram a relação entre os eventos e a ausência de reposição, o que impacta as chances de seleção do segundo item. A verificação da independência entre os eventos A e B é feita pela comparação de P(B|A) com P(B), mostrando que a ocorrência de A altera a probabilidade de B. O cálculo da probabilidade de pelo menos um item defeituoso utiliza a complementaridade, garantindo que todos os casos possíveis sejam considerados.

Raio-X da questão

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