Escolhe-se aleatoriamente, sem reposição, um inteiro entre 1 e 15 e, em seguida, outro inteiro distinto do…

Questão

Escolhe-se aleatoriamente, sem reposição, um inteiro entre 1 e 15 e, em seguida, outro inteiro distinto do mesmo conjunto. Seja A = "o primeiro número é múltiplo de 3" e B = "a soma dos dois números é par". Calcule P(A n B) e verifique se A e B são independentes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Solução modelo: 1) Espaço amostral ordenado: 15·14=210 pares. 2) Números múltiplos de 3 em 1..15: {3,6,9,12,15} ? 5 opções. Entre esses, 3 são ímpares (3,9,15) e 2 pares (6,12). 3) Para AnB: se o primeiro é múltiplo ímpar (3 casos), a soma ser par exige que o segundo seja ímpar. Há 8 ímpares em 1..15; após escolher um ímpar resta 7 ímpares ? 3·7=21 pares. Se o primeiro é múltiplo par (2 casos), o segundo deve ser par; há 7 pares no total; após escolher um resta 6 pares ? 2·6=12 pares. Total favorável =21+12=33. 4) P(AnB)=33/210=11/70 ˜0,15714. 5) P(A)=5/15=1/3. Para checar independência calcule P(B): soma par ocorre quando ambos pares ou ambos ímpares ? 7·6 + 8·7 =42+56=98 pares; P(B)=98/210=49/105 ˜0,4667. 6) P(A)·P(B)=(1/3)·(49/105)=49/315 ˜0,15556 ? 11/70 ˜0,15714. Conclusão: A e B não são independentes. Observação: todos os cálculos usam contagem de pares ordenados e relações condicionais entre paridade e múltiplos de 3.

Explicação

A solução apresentada utiliza a contagem de pares ordenados para determinar a probabilidade conjunta de dois eventos, considerando as condições impostas por cada um deles. A verificação da independência é feita através da comparação entre a probabilidade conjunta e o produto das probabilidades individuais, mostrando que os eventos estão interligados. Assim, a conclusão de que A e B não são independentes é fundamentada em cálculos probabilísticos rigorosos.

Raio-X da questão

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