Escolhe-se aleatoriamente um ponto no quadrado unitário [0,1]×[0,1] com distribuição uniforme. Defina A = {…

Questão

Escolhe-se aleatoriamente um ponto no quadrado unitário [0,1]×[0,1] com distribuição uniforme. Defina A = { (x,y) : x + y < 1 } e B = { (x,y) : x < 0.6 }. Verifique se A e B são eventos independentes. Calcule P(A), P(B), P(A n B) e P(A B).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como a escolha é uniforme, probabilidades correspondem a áreas no quadrado unitário. P(B) é a área do retângulo {0 = x < 0.6, 0 = y = 1}, logo P(B)=0.6·1=0.6. P(A) é a área abaixo da reta x+y=1 dentro do quadrado, que é um triângulo de base 1 e altura 1, portanto P(A)=1/2. Para P(A n B) consideramos 0 = x < 0.6 e 0 = y < 1-x; a área é ?_{0}^{0.6} (1-x) dx = [x - x^2/2]_0^{0.6} = 0.6 - 0.18 = 0.42. Assim P(A n B)=0.42. Calcula-se P(A)·P(B) = 0.5·0.6 = 0.3, diferente de 0.42, logo A e B NÃO são independentes. Finalmente P(A | B) = P(A n B)/P(B) = 0.42/0.6 = 0.7.

Explicação

A análise das áreas correspondentes aos eventos A e B no quadrado unitário permite calcular suas probabilidades e a interseção entre eles. A comparação entre P(A n B) e o produto P(A)·P(B) revela que os eventos não são independentes, pois o resultado não é igual. O cálculo de P(A | B) demonstra a relação condicional entre os eventos, confirmando a dependência.

Raio-X da questão

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