Na urna há as bolas numeradas 1,2,3,4. Sorteia-se uma bola (1º sorteio), devolve-se a bola à urna e, antes do…

Questão

Na urna há as bolas numeradas 1,2,3,4. Sorteia-se uma bola (1º sorteio), devolve-se a bola à urna e, antes do 2º sorteio, acrescenta-se uma nova bola numerada 5. Defina A = '1º sorteio resulta em número par' e B = '2º sorteio resulta em 5'. a) Calcule P(A), P(B) e P(AnB). b) Determine se A e B são independentes e explique.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(A): na primeira urna {1,2,3,4} há dois pares (2 e 4) de 4 elementos, então P(A)=2/4=1/2. P(B): após devolver a bola e acrescentar a bola 5, a urna tem {1,2,3,4,5} com 5 elementos; P(B)=1/5. Como a segunda composição não depende do resultado do primeiro sorteio (a bola foi devolvida antes de adicionar a nova), os sorteios são independentes e P(AnB)=P(A)·P(B)=1/2·1/5=1/10. Conclusão: A e B são independentes porque P(AnB)=P(A)P(B).

Explicação

A probabilidade de A é calculada considerando os números pares na primeira urna, enquanto a probabilidade de B é determinada após a adição da bola 5, mostrando que os eventos não influenciam um ao outro. A independência é confirmada ao verificar que a probabilidade conjunta P(AnB) é igual ao produto das probabilidades individuais P(A) e P(B). Portanto, a conclusão sobre a independência dos eventos está fundamentada nas propriedades das probabilidades.

Raio-X da questão

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