Urna contém 2 bolas vermelhas, 4 azuis e 3 verdes (total 9). Retiram-se duas bolas em sequência sem reposição…

Questão

Urna contém 2 bolas vermelhas, 4 azuis e 3 verdes (total 9). Retiram-se duas bolas em sequência sem reposição. Seja A = 'primeira é vermelha' e B = 'segunda é vermelha'. Calcule P(A), P(B), P(A n B) e diga se A e B são independentes.

1. A) Não. P(A)=2/9, P(B)=2/9, P(AnB)=1/36, P(A)·P(B)=4/81 (?P(AnB)).
2. B) P(A) = 1/4, P(B) = 1/3, P(AnB) = 1/12. Eventos ‘A’ e ‘B’ são dependentes.
3. C) P(A) = 1/3, P(B) = 2/3, P(AnB) = 2/27. A e B são sempre independentes.
4. D) P(A) = 2/9, P(B) = 1/9, P(AnB) = 2/81. A é dependente de B.
5. E) P(A) = 3/9, P(B) = 4/9, P(AnB) = 1/9. Eventos não podem ser independentes.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Total de bolas: 2 vermelhas + 4 azuis + 3 verdes = 9. Passo 2: P(A) = probabilidade de a primeira bola ser vermelha = 2/9. Passo 3: P(B) = probabilidade de a segunda bola ser vermelha. Como não há reposição, a segunda retirada depende da primeira, mas, sem saber o resultado da primeira, a chance de vermelha na segunda é a mesma da primeira: a soma das possibilidades (vermelha na 1ª e vermelha na 2ª, ou azul/verde na 1ª e vermelha na 2ª) dá 2 vermelhas em 9 bolas, logo P(B) = 2/9. Passo 4: P(A e B) = P(A) x P(B depois de A) = (2/9) x (1/8) = 2/72 = 1/36, pois sobram 8 bolas e 1 vermelha. Passo 5: Independência exige P(A e B) = P(A) x P(B). Aqui P(A) x P(B) = (2/9) x (2/9) = 4/81, que é diferente de 1/36 (4/81 é aproximadamente 0,049 e 1/36 é aproximadamente 0,028). Portanto A e B são dependentes, e a alternativa A está correta. Passo 6: Por que as outras estão erradas: B usa P(A) = 1/4, valor que não corresponde a 2 em 9 bolas; C afirma que os eventos são sempre independentes, o que contradiz a retirada sem reposição; D calcula P(B) = 1/9, desconsiderando que a segunda vermelha pode vir após a primeira vermelha ou após outra cor; E usa P(A) = 3/9, contando as 3 bolas verdes como se fossem vermelhas, e afirma que eventos não podem ser independentes, o que é falso em geral. Observação: na alternativa A, a expressão entre parênteses '(?P(AnB))' parece uma anotação de dúvida, mas o valor correto de P(A e B) é 1/36, que está indicado na própria alternativa.

💡 Dica: Calcule as probabilidades considerando que a primeira bola não é reposta antes da segunda retirada.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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