Um sorteio escolhe, com probabilidade P(UX)=0,60, a urna UX e, com probabilidade P(UY)=0,40, a urna UY. A urna…

Questão

Um sorteio escolhe, com probabilidade P(UX)=0,60, a urna UX e, com probabilidade P(UY)=0,40, a urna UY. A urna UX contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis; a urna UY contém 5 bolas vermelhas e 1 azul. Após escolher a urna, sortea-se uma bola dessa urna. Defina A = 'foi escolhida a urna UX' e B = 'a bola sorteada é vermelha'. Determine se os eventos A e B são independentes. Calcule P(A), P(B), P(A n B) e P(B A) justificando os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(A)=0,60 = 3/5. Probabilidade de bola vermelha dado UX: P(B|A)=2/(2+3)=2/5. Dado UY (A^c): P(B|A^c)=5/(5+1)=5/6. Usando a regra da probabilidade total, P(B)=P(A)·P(B|A)+P(A^c)·P(B|A^c) = (3/5)·(2/5)+(2/5)·(5/6). Calcule: (3/5)·(2/5)=6/25; (2/5)·(5/6)=1/3. Soma: P(B)=6/25+1/3 = (18+25)/75 = 43/75 ˜ 0,57333. Agora P(A n B)=P(A)·P(B|A)=(3/5)·(2/5)=6/25 = 18/75 = 0,24. Compare P(AnB) com P(A)·P(B): P(A)·P(B)=(3/5)·(43/75)=129/375 = 43/125 ˜ 0,344. Como P(AnB) ? P(A)·P(B) (0,24 ? 0,344) e também P(B|A)=0,4 difere de P(B)˜0,57333, conclui-se que A e B são eventos dependentes.

Explicação

Os cálculos realizados demonstram que a probabilidade conjunta de A e B, P(A n B), é diferente do produto das probabilidades P(A) e P(B), indicando que os eventos não são independentes. Além disso, a comparação entre P(B|A) e P(B) revela que a escolha da urna influencia a probabilidade de sortear uma bola vermelha. Assim, a relação entre os eventos A e B confirma que eles são dependentes.

Raio-X da questão

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