Duas urnas são selecionadas com probabilidades P(U1)=0,40 e P(U2)=0,60. Urna U1 contém 2 bolas vermelhas e 3…

Questão

Duas urnas são selecionadas com probabilidades P(U1)=0,40 e P(U2)=0,60. Urna U1 contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis; Urna U2 contém 1 vermelha e 4 azuis. Escolhe-se uma urna conforme P acima e, em seguida, extrai-se uma bola. a) Calcule P(Vermelha). b) Calcule P(U1 Vermelha). c) Os eventos “escolher U1” e “obter vermelha” são independentes? Justifique.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(V)=P(U1)·P(V|U1)+P(U2)·P(V|U2)=0,40·(2/5)+0,60·(1/5)=0,16+0,12=0,28. P(U1|V)=P(V|U1)P(U1)/P(V)=(0,4·0,40)/0,28=0,16/0,28=4/7˜0,5714. São dependentes, pois P(V|U1)=0,4?P(V)=0,28 (ou P(U1nV)=0,16?P(U1)P(V)=0,112).

Explicação

A probabilidade total de se extrair uma bola vermelha é calculada pela soma das probabilidades condicionais de cada urna multiplicadas pela probabilidade de escolher cada urna. A probabilidade de escolher a urna U1 dado que uma bola vermelha foi extraída é obtida pela aplicação do teorema de Bayes, que relaciona as probabilidades condicionais. Os eventos são dependentes, pois a probabilidade de extrair uma bola vermelha varia conforme a urna escolhida, indicando que a escolha da urna influencia o resultado da extração.

Raio-X da questão

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