Uma escola pública realizou uma pesquisa com 80 estudantes para planejar ações de inclusão digital. Cada…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no cálculo de probabilidades.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma escola pública realizou uma pesquisa com 80 estudantes para planejar ações de inclusão digital. Cada estudante informou se utilizava tablet para estudar (evento T) e se participava de algum curso on-line (evento O). Os resultados foram: 20 estudantes pertenciam simultaneamente a T e O; 10 pertenciam apenas a T; 15 pertenciam apenas a O; e 35 não pertenciam a nenhum desses grupos. Considerando os dados da pesquisa, os eventos T e O são independentes? Justifique sua resposta comparando a probabilidade da interseção com o produto das probabilidades dos eventos.
- A) Não, pois P(T ∩ O) = 20/80 = 0,25, enquanto P(T)P(O) = (30/80)(35/80) = 0,1640625.
- B) Sim, pois P(T ∩ O) = 20/80 = 0,25 e essa é a condição de independência.
- C) Sim, pois P(T ∩ O) = P(T)P(O) = 20/80 = 0,25 na pesquisa.
- D) Não é possível decidir, pois a pesquisa não informa quantos estudantes foram entrevistados.
- E) Sim, pois eventos independentes são aqueles cuja interseção possui estudantes em comum.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Organize os dados em um diagrama de Venn com 80 estudantes no total. Ha 20 em T e O simultaneamente, 10 apenas em T, 15 apenas em O e 35 em nenhum grupo. Conferindo: 20 + 10 + 15 + 35 = 80. Passo 2: Calcule a probabilidade da interseção: P(T e O) = 20/80 = 0,25. Passo 3: Calcule as probabilidades marginais somando todos os estudantes de cada grupo, e nao apenas a interseção. P(T) = (20 + 10)/80 = 30/80 = 0,375, pois T inclui os 20 que estao em ambos e os 10 que estao apenas em T. P(O) = (20 + 15)/80 = 35/80 = 0,4375, pelo mesmo raciocinio. Passo 4: Calcule o produto das marginais: P(T) x P(O) = (30/80)(35/80) = 1050/6400 = 0,1640625. Passo 5: Compare os valores. Como P(T e O) = 0,25 e P(T) x P(O) = 0,1640625 sao diferentes, os eventos T e O NAO sao independentes. Eles sao dependentes, pois saber que um estudante usa tablet aumenta a chance de ele fazer curso on-line (de 0,4375 para 20/30, cerca de 0,667). Passo 6: Por que as outras estao erradas. B: a interseção ser 0,25 nao define independencia; a condicao exige comparar com o produto das marginais. C: o produto P(T)P(O) nao e 0,25, pois as marginais sao 30/80 e 35/80, e nao 20/80. D: o enunciado informa que a pesquisa teve 80 estudantes, dado suficiente para calcular as probabilidades. E: eventos independentes nao sao definidos por ter elementos em comum; isso e justamente a interseção nao vazia, que pode ocorrer tanto em eventos dependentes quanto independentes. Conclusao: a alternativa correta e a A.
💡 Dica: Calcule as probabilidades de T e O para verificar a independência.
Alternativa por alternativa
O total de estudantes que utilizam tablet é 20 + 10 = 30, e o total que participa de curso on-line é 20 + 15 = 35. Assim, P(T) = 30/80, P(O) = 35/80 e P(T ∩ O) = 20/80. Para eventos independentes, deve ocorrer P(T ∩ O) = P(T)P(O). Como 0,25 é diferente de 0,1640625, os eventos não são independentes.
O aluno acredita que basta a interseção ser positiva ou ser um valor 'razoável' para que os eventos sejam independentes, sem comparar com o produto das marginais.
O aluno afirma que P(T) x P(O) vale 0,25 e, para isso, usa apenas os 20 estudantes da interseção como se fossem toda a população de cada evento, ignorando os 10 e os 15 que estao apenas em um dos grupos.
O aluno considera que falta o tamanho da amostra, mas o enunciado ja informa 80 estudantes, dado suficiente para calcular todas as probabilidades.
O aluno confunde independencia com a existencia de elementos em comum entre os eventos, quando na verdade a independencia depende da relacao entre P(T e O) e P(T)P(O).
Raio-X da questão
probabilidades de eventos independentes
avaliacao
probabilidade de eventos · eventos independentes
Revisar o conceito de eventos independentes em probabilidade.
Confundir a soma das probabilidades com a independência dos eventos, acreditando que P(TnO) deve ser igual à soma de P(T) e P(O).
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