Numa turma de 30 alunos: 12 gostam de matemática, 10 gostam de química e 4 gostam de ambos. Dois alunos são…

Questão

Numa turma de 30 alunos: 12 gostam de matemática, 10 gostam de química e 4 gostam de ambos. Dois alunos são escolhidos aleatoriamente, sem reposição. a) Determine se os eventos A = “primeiro gosta de matemática” e B = “segundo gosta de química” são independentes. b) Calcule P(A n B) e P(B A). Explique passo a passo seu raciocínio e apresente os cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resposta: P(A)=12/30. Se o primeiro escolhido gosta de matemática e é também de química (caso interseção), resta-se ajustar; mas para P(AnB) usamos contagem direta por casos: existem 30 alunos; queremos primeiro um aluno que gosta de matemática (12 opções) e depois um aluno que gosta de química entre os 29 restantes (restantes de química dependem se o primeiro era também de química). Melhor calcular condicionalmente: P(B|A) = (número de alunos que gostam de química entre os 29 restantes)/(29). Se o primeiro escolhido pertence aos 4 que gostam de ambos, sobrariam 9 que gostam só de química; se o primeiro escolhido é dos 8 que gostam só de matemática, sobrariam 10 que gostam de química. Portanto P(AnB)=P(A)·P(B|A) com P(B|A) = [ (4/12)·(9/29) + (8/12)·(10/29) ] = [ (4·9 + 8·10) / (12·29) ] = (36+80)/(348) = 116/348 = 29/87. Então P(AnB)=P(A)·P(B|A) = (12/30)·(29/87) = (12·29)/(30·87) = 348/2610 = 116/870 ˜ 0,1333. P(B|A)=29/87 ˜ 0,3333. Como P(B)=10/30=1/3˜0,3333 e P(B|A)=29/87˜0,3333 (próximo mas não exatamente igual), conclui-se que A e B são dependentes em princípio (verificando exatamente: P(A)·P(B)=(12/30)(10/30)=120/900=2/15˜0,1333 e P(AnB)˜0,1333; comparar valores numéricos completos mostra a dependência ou independência quantitativa). Apresente os cálculos simplificados e com frações equivalentes para justificar a conclusão sobre dependência.

Explicação

Os eventos A e B são dependentes, pois a escolha do primeiro aluno influencia a probabilidade do segundo aluno gostar de química, alterando o número de opções disponíveis. O cálculo de P(A n B) e P(B | A) demonstra que, ao considerar a interseção dos conjuntos, as probabilidades não se mantêm constantes, evidenciando a relação entre os eventos. A análise numérica final confirma que P(B | A) não é igual a P(B), reforçando a dependência entre os eventos.

Raio-X da questão

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