Experimento: escolhe-se ao acaso uma urna U com P(U=A)=1/3 e P(U=B)=2/3. Urna A contém 5 bolas vermelhas e 5…

Questão

Experimento: escolhe-se ao acaso uma urna U com P(U=A)=1/3 e P(U=B)=2/3. Urna A contém 5 bolas vermelhas e 5 azuis; urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Retira-se uma bola da urna escolhida. Seja B = 'foi escolhida a urna A' e R = 'a bola retirada é vermelha'. Determine se B e R são eventos independentes. Calcule P(RnB), P(R) e verifique se P(RnB)=P(R)P(B).

1. A) Urna A tem 7 bolas vermelhas e 3 azuis, então P(RnB)=7/10
2. B) Eventos independentes: P(RnB)=P(R)*P(B) com P(R)=1/3
3. C) P(R)=1/4, logo P(RnB)=1/4 * 1/3 = 1/12
4. D) Ambas as urnas têm a mesma probabilidade de retirar uma bola vermelha, P(R)=1/2
5. E) Dependentes. P(RnB)=1/6, P(R)=3/10 e P(R)P(B)=1/10, logo 1/6 ? 1/10.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados. P(U=A)=1/3 e P(U=B)=2/3. A urna A tem 5 vermelhas em 10 bolas, então P(R|A)=5/10=1/2. A urna B tem 2 vermelhas em 10 bolas, então P(R|B)=2/10=1/5.
2. Calcule P(R∩B), onde B é 'foi escolhida a urna A'. P(R∩B)=P(B)·P(R|A)=(1/3)·(1/2)=1/6.
3. Calcule P(R) pela probabilidade total. P(R)=P(A)·P(R|A)+P(B_urna)·P(R|B_urna)=(1/3)(1/2)+(2/3)(1/5)=1/6+2/15=5/30+4/30=9/30=3/10.
4. Verifique a independência. P(B)=1/3, então P(R)·P(B)=(3/10)·(1/3)=1/10. Como P(R∩B)=1/6 é diferente de 1/10, a condição P(R∩B)=P(R)P(B) não se cumpre, e os eventos são dependentes. Isso faz sentido intuitivamente: a urna A tem proporção de vermelhas maior que a urna B, então saber que a urna é A muda a chance de a bola ser vermelha.
5. Por que as outras estão erradas. A: a urna A tem 5 vermelhas e 5 azuis, não 7 e 3. B: os eventos não são independentes e P(R) não é 1/3. C: P(R) não é 1/4, pois a probabilidade total deve ponderar as urnas pelas suas probabilidades. D: a urna B tem probabilidade 1/5 de vermelha, não 1/2, e P(R) é 3/10.
6. Conclusão. A alternativa correta é a E, que apresenta corretamente a dependência, P(R∩B)=1/6, P(R)=3/10 e P(R)P(B)=1/10.

💡 Dica: Calcule as probabilidades passo a passo para verificar a independência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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