DISERTATIVA — Considere um filtro passa-altas simples formado por um capacitor C em série com um resistor R…

Questão

DISERTATIVA — Considere um filtro passa-altas simples formado por um capacitor C em série com um resistor R ligado ao terra; a entrada é um sinal senoidal de amplitude V_in,peak = 5,00 V. Tome R = 1,00 kO e C = 0,100 µF. (a) Calcule a frequência de corte f_c = 1/(2pRC). (b) Para f = 1,00 kHz determine a amplitude V_out,peak e a defasagem f = arg(H(?)) entre saída e entrada, usando H(j?) = j?RC/(1 + j?RC), ? = 2pf. (c) Compare qualitativa e quantitativamente o comportamento do filtro em f = 100 Hz e f = 100 kHz. Explicite fórmulas, cálculos numéricos e interpretação física (todas as unidades SI).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta modelo (passos e cálculos): 1) Dados: R = 1,00×10^3 O, C = 0,100 µF = 1,00×10^{-7} F. Corte: f_c = 1/(2pRC). RC = 1,00×10^3 · 1,00×10^{-7} = 1,00×10^{-4} s. Logo f_c = 1/(2p·1,00×10^{-4}) ˜ 1,592×10^3 Hz ˜ 1592 Hz. 2) Para f = 1,00 kHz: ? = 2p·1000 = 6283,185 rad/s. Defina x = ?RC = 6283,185·1,00×10^{-4} = 0,6283185. Função de transferência: H(j?) = jx/(1 + jx). Módulo |H| = x / sqrt(1 + x^2). Fase f = arg(H) = arctan(1/x) (em rad ou graus). Cálculo: |H| = 0,6283185 / sqrt(1 + 0,6283185^2) = 0,6283185 / 1,1810 ˜ 0,5320. V_out,peak = V_in,peak · |H| = 5,00·0,5320 = 2,66 V (pico). Fase: f = arctan(1/0,6283185) = arctan(1,59155) ˜ 0, Aprox 1,011 rad ˜ 57,9° (a saída adianta a entrada nesse sistema de referência). 3) Comportamento em f = 100 Hz e f = 100 kHz (quantitativo e qualitativo): a) f = 100 Hz: ? = 2p·100 = 628,3185 rad/s ? x = ?RC = 0,06283185. |H| ˜ 0,06283 / sqrt(1 + 0,06283^2) ˜ 0,06271. V_out,peak ˜ 5,00·0,06271 = 0,3136 V. f ˜ arctan(1/0,06283) = arctan(15,915) ˜ 1,508 rad ˜ 86,4°. Interpretação: f « f_c ? atenuação forte; capacitor bloqueia baixas frequências; saída muito pequena e com fase próxima de +90°. b) f = 100 kHz: ? = 2p·100000 ˜ 6,28318×10^5 rad/s ? x = 62,83185. |H| ˜ 62,83185 / sqrt(1 + 62,83185^2) ˜ 0,999865. V_out,peak ˜ 5,00·0,999865 ˜ 4,9993 V ˜ 5,00 V. f ˜ arctan(1/62,83185) ˜ 0,0159 rad ˜ 0,912°. Interpretação: f » f_c ? passa quase todas as componentes; saída quase igual à entrada com pequena defasagem. 4) Conclusão física: o filtro passa-altas transmite sinais com f > f_c quase sem atenuação (|H| ˜ 1) e com fase próxima de 0°, enquanto reduz fortemente sinais com f < f_c (|H| « 1) e introduz fase próxima de +90°. Os cálculos numéricos acima quantificam essa transição: em 100 Hz (˜0,063·f_c) V_out ˜ 0,314 V; em 1 kHz (~0,63·f_c) V_out ˜ 2,66 V; em 100 kHz (~63·f_c) V_out ˜ 4,999 V.

Explicação

A resposta apresenta cálculos detalhados que seguem a metodologia apropriada para determinar a frequência de corte, a amplitude de saída e a defasagem em diferentes frequências. A comparação qualitativa e quantitativa entre as frequências de 100 Hz e 100 kHz ilustra claramente o comportamento do filtro passa-altas, evidenciando a atenuação de sinais de baixa frequência e a transmissão eficiente de sinais de alta frequência. A interpretação física dos resultados reforça a compreensão do funcionamento do filtro, destacando a relação entre frequência, amplitude de saída e fase.

Raio-X da questão

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