Escolhem-se ao acaso dois números distintos do conjunto {1,2,...,10}, todos os pares equiprováveis. Seja A =…

Questão

Escolhem-se ao acaso dois números distintos do conjunto {1,2,...,10}, todos os pares equiprováveis. Seja A = 'a soma dos dois números é par' e B = 'os dois números são primos'. Calcule P(A), P(B) e P(A n B). Os eventos A e B são independentes? Apresente todos os cálculos e conclua.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Total de pares distintos = C(10,2)=45. 1) P(A): soma par ocorre quando os dois são pares ou os dois são ímpares. Há 5 pares (2,4,6,8,10) ? C(5,2)=10 pares pares; 5 ímpares ? C(5,2)=10 pares ímpares. Favoráveis =10+10=20 ? P(A)=20/45=4/9. 2) P(B): primos em 1..10: {2,3,5,7} (4 números). Pares de primos = C(4,2)=6 ? P(B)=6/45=2/15. 3) P(AnB): pares que são ambos primos e têm soma par. Soma par entre primos só ocorre se ambos forem ímpares (pois 2 é o único primo par e não pode formar par distinto com outro primo par). Ímpares primos = {3,5,7} ? C(3,2)=3 pares ? P(AnB)=3/45=1/15. Verificação de independência: P(A)P(B)=(4/9)·(2/15)=8/135 ? P(AnB)=1/15=9/135. Portanto A e B não são independentes.

Explicação

Os cálculos realizados para as probabilidades P(A), P(B) e P(A n B) estão fundamentados na contagem adequada de pares de números e na análise das condições que definem cada evento. A verificação da independência entre os eventos A e B é feita comparando o produto das probabilidades individuais com a probabilidade da interseção, mostrando que não são independentes quando os valores não coincidem. Essa abordagem rigorosa garante que todas as possibilidades foram consideradas, levando a conclusões precisas sobre os eventos.

Raio-X da questão

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