Escolhem-se, em sequência e sem reposição, dois números distintos do conjunto {1,2,...,10}. Seja A = 'o…

Questão

Escolhem-se, em sequência e sem reposição, dois números distintos do conjunto {1,2,...,10}. Seja A = 'o primeiro número é par' e B = 'o segundo número é maior que 5'. Calcule P(A), P(B), P(AnB) e diga se A e B são independentes.

1. A) P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(AnB)=11/45; A e B são dependentes.
2. B) P(A)=3/10; P(B)=7/10; P(AnB)=21/100.
3. C) P(A)=2/10; P(B)=4/10; P(AnB)=8/100.
4. D) P(A)=4/10; P(B)=1/3; A e B não são independentes.
5. E) P(A)=1/5; P(B)=3/5; A e B são independentes.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. O espaço amostral são os pares ordenados (primeiro, segundo) de números distintos de 1 a 10, ou seja, 10 x 9 = 90 resultados igualmente prováveis.
2. Para A (primeiro número par), há 5 pares possíveis para o primeiro número (2, 4, 6, 8, 10) e 9 possibilidades para o segundo. Logo, são 5 x 9 = 45 casos e P(A) = 45/90 = 1/2.
3. Para B (segundo número maior que 5), o segundo deve ser 6, 7, 8, 9 ou 10 (5 opções) e o primeiro pode ser qualquer um dos 9 restantes. Logo, são 5 x 9 = 45 casos e P(B) = 45/90 = 1/2.
4. Para A e B juntos, o primeiro é par e o segundo está em {6, 7, 8, 9, 10} sem repetir. Se o primeiro é 2 ou 4, o segundo tem 5 opções (2 x 5 = 10). Se o primeiro é 6, 8 ou 10, o segundo tem 4 opções, pois um dos números de {6, ..., 10} já foi usado (3 x 4 = 12). Total: 22 casos, então P(A e B) = 22/90 = 11/45.
5. Dois eventos são independentes se P(A e B) = P(A) x P(B). Aqui P(A) x P(B) = 1/4 = 22,5/90, que é diferente de 22/90. Portanto A e B são dependentes, pois o primeiro sorteio retira um número do conjunto e altera as chances do segundo.
6. Conclusão: o gabarito oficial A está correto. Alternativa B está errada, pois P(A) = 3/10 e P(B) = 7/10 não correspondem à contagem do espaço amostral de 90 pares. Alternativa C está errada, pois P(A) = 2/10 subestima os casos com primeiro par. Alternativa D está errada, pois P(A) = 4/10 e P(B) = 1/3 não correspondem às contagens corretas. Alternativa E está errada, pois P(A) = 1/5 e P(B) = 3/5 estão incorretos e a independência não se verifica.

💡 Dica: Calcule as probabilidades usando a definição de probabilidade.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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