Escolhe-se uniformemente uma permutação dos números {1,...,20} e consideram-se os dois primeiros elementos…

Questão

Escolhe-se uniformemente uma permutação dos números {1,...,20} e consideram-se os dois primeiros elementos (sem reposição). Seja A = "o primeiro é múltiplo de 5" e B = "o segundo é múltiplo de 5". Calcule P(A), P(B), P(AnB) e verifique independência.

1. A) P(A)=5/20; P(B)=5/20; P(AnB)=5/20; A e B são independentes.
2. B) P(A)=4/20; P(B)=4/20; P(AnB)=3/76; A e B são dependentes.
3. C) P(A)=4/20=1/5, P(B)=4/20=1/5, P(AnB)=(4/20)·(3/19)=3/95; A e B são dependentes.
4. D) P(A)=1/4; P(B)=1/4; P(AnB)=1/16; A e B são dependentes.
5. E) P(A)=3/20; P(B)=3/20; P(AnB)=9/380; A e B são independentes.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Identifique os múltiplos de 5 entre 1 e 20: 5, 10, 15 e 20, ou seja, 4 números. Passo 2: Como a permutação é uniforme, o primeiro elemento é qualquer um dos 20 números com igual probabilidade, então P(A) = 4/20 = 1/5. Passo 3: Pela mesma lógica, o segundo elemento também é uniforme entre os 20 números quando o primeiro não é fixado, então P(B) = 4/20 = 1/5. Passo 4: Para P(A e B), ambos os elementos devem ser múltiplos de 5 e sem reposição. Há 4 opções para o primeiro e, restando 19 números, 3 múltiplos de 5 para o segundo. Logo P(A e B) = (4/20)·(3/19) = 12/380 = 3/95. Passo 5: Verifique a independência comparando P(A e B) com P(A)·P(B). Temos P(A)·P(B) = 1/25 = 0,04, enquanto P(A e B) = 3/95, aproximadamente 0,0316. Como são diferentes, A e B são dependentes, pois retirar um múltiplo de 5 na primeira posição diminui a chance de haver outro múltiplo na segunda. Passo 6: Por que as outras estão erradas: na A, a contagem de múltiplos está errada e a independência foi afirmada sem verificação; na B, a probabilidade conjunta 3/76 não corresponde ao produto correto (4/20)·(3/19); na D, o valor 1/4 contraria a contagem de 4 múltiplos e 1/16 é o produto de independência, o que contradiz a conclusão de dependência; na E, o valor 3/20 conta errado os múltiplos e 9/380 é o quadrado de 3/20, assumindo independência de forma indevida. O gabarito oficial C está correto.

💡 Dica: Calcule as probabilidades usando a definição de probabilidade e verifique a independência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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