Em uma investigação sobre a formação de anéis planetários, estudantes analisaram quando as forças de maré de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma investigação sobre a formação de anéis planetários, estudantes analisaram quando as forças de maré de um planeta podem superar a coesão gravitacional de um satélite fluido. Para uma aproximação desse fenômeno, o limite de Roche é calculado por d_R = 2,456 R_p (?_p/?_s)^(1/3), em que R_p é o raio do planeta, ?_p é a densidade do planeta e ?_s é a densidade do satélite. Se a distância entre os centros do planeta e do satélite for menor que d_R, o satélite estará sujeito à fragmentação por forças de maré. Um planeta tem raio R_p = 7,00 × 10^7 m e densidade ?_p = 1,30 × 10^3 kg/m^3. Um satélite fluido que o orbita tem densidade ?_s = 3,00 × 10^3 kg/m^3 e está a uma distância de 1,00 × 10^8 m do centro do planeta. Com base no texto, qual é o valor aproximado do limite de Roche e a situação esperada para esse satélite?
- A) d_R = 1,30 × 10^8 m; como a distância orbital é menor que d_R, o satélite será fragmentado.
- B) d_R = 1,59 × 10^8 m; como a distância orbital é menor que d_R, o satélite será fragmentado.
- C) d_R = 1,72 × 10^8 m; como a distância orbital é menor que d_R, o satélite será fragmentado.
- D) d_R = 1,30 × 10^7 m; como a distância orbital é maior que d_R, o satélite permanecerá íntegro.
- E) d_R = 1,13 × 10^8 m; como a distância orbital é menor que d_R, o satélite será fragmentado.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. R_p = 7,00 × 10^7 m, densidade do planeta = 1,30 × 10^3 kg/m^3, densidade do satélite = 3,00 × 10^3 kg/m^3 e distância orbital = 1,00 × 10^8 m. Passo 2: Calcule a razão entre as densidades: 1300/3000 = 0,4333. Passo 3: Calcule a raiz cúbica dessa razão: 0,4333^(1/3) ≈ 0,757. Passo 4: Calcule o limite de Roche: d_R = 2,456 × 7,00 × 10^7 × 0,757 ≈ 13,0 × 10^7 m, ou seja, d_R ≈ 1,30 × 10^8 m. Passo 5: Compare com a distância orbital. Como 1,00 × 10^8 m é menor que 1,30 × 10^8 m, o satélite está dentro do limite de Roche e será fragmentado por forças de maré. Passo 6: Conclusão. A alternativa A é a correta, e ela coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B traz um valor de d_R que não resulta da fórmula com a raiz cúbica correta; C ignora a razão de densidades, tratando o fator (ρp/ρs)^(1/3) como se valesse 1; D erra a potência de dez e ainda inverte a conclusão; E usa a raiz quadrada em vez da raiz cúbica.
💡 Dica: Calcule o limite de Roche e compare com a distância a.
Alternativa por alternativa
Substituindo os dados na expressão, obtém-se d_R = 2,456 · 7,00 × 10^7 · (1,30 × 10^3 / 3,00 × 10^3)^(1/3). Como (1,30/3,00)^(1/3) é aproximadamente 0,756, resulta d_R ≈ 1,30 × 10^8 m. A distância orbital, 1,00 × 10^8 m, é menor que esse limite; portanto, as forças de maré podem fragmentar o satélite.
O aluno provavelmente errou o cálculo do fator de densidades ou a multiplicação final, obtendo 1,59 × 10^8 m em vez de 1,30 × 10^8 m. A conclusão de fragmentação estaria certa, mas o valor de d_R não corresponde à fórmula.
Por que engana: Confundir a relação entre a distância do satélite e o limite de Roche, levando a um cálculo incorreto do valor de d_R.
O aluno provavelmente desconsiderou a razão de densidades, como se (ρp/ρs)^(1/3) fosse igual a 1, e obteve 2,456 × 7,00 × 10^7 ≈ 1,72 × 10^8 m.
O aluno errou a potência de dez no resultado, escrevendo 1,30 × 10^7 m em vez de 1,30 × 10^8 m, e ainda concluiu que a distância maior que d_R protege o satélite, o que contraria o enunciado.
O aluno provavelmente usou a raiz quadrada da razão de densidades (0,4333^(1/2) ≈ 0,658) em vez da raiz cúbica, obtendo d_R ≈ 1,13 × 10^8 m.
Raio-X da questão
limite de Roche
avaliacao
cálculo de densidade · forças gravitacionais
Revisar a fórmula do limite de Roche e suas aplicações.
Confundir a relação entre a distância do satélite e o limite de Roche, levando a um cálculo incorreto do valor de d_R.
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cientifico
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