Um elétron com energia cinética K = 2,00 MeV desloca-se na água com índice de refração n = 1,33. Usando mc² =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar o conhecimento sobre as radiações e suas origens para avaliar as potencialidades e os riscos de sua aplicação em equipamentos de uso cotidiano, na saúde, no ambiente, na indústria, na agricultura e na geração de energia elétrica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um elétron com energia cinética K = 2,00 MeV desloca-se na água com índice de refração n = 1,33. Usando mc² = 511 keV e c = 3×108 m·s?¹, calcule o ângulo de emissão ? de radiação Cherenkov (graus) dado por cos? = 1/(ßn), onde ß = v/c = v(1-1/?²) e ? = (K+mc²)/(mc²).
- A) ? = arcsin(1/(ßn))
- B) ß = c/v, onde v = sqrt(2K/m) = sqrt(2×2000/511)
- C) ?˜4,915 ? ߘ0,9791; cos?=1/(ßn)=1/(0,9791·1,33)=0,7686 ? ?˜39,8° (˜4,0×10¹°)
- D) ? = 90° - cos? = 1/(ßn)
- E) ? = 0°, pois ß é sempre menor que n
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcule o fator de Lorentz gama = (K + mc²)/mc² = (2,00 + 0,511)/0,511 = 2,511/0,511 ≈ 4,914. Passo 2: Calcule beta = sqrt(1 - 1/gama²) = sqrt(1 - 1/24,15) ≈ sqrt(0,9586) ≈ 0,9791. Observação: o enunciado escreve beta = v(1 - 1/gama²), o que é uma má digitação; a fórmula correta é beta = sqrt(1 - 1/gama²). Passo 3: Verifique a condição de emissão Cherenkov: beta·n = 0,9791 × 1,33 ≈ 1,302, que é maior que 1, logo a radiação é emitida. Passo 4: Calcule cos(teta) = 1/(beta·n) = 1/1,302 ≈ 0,7679. Passo 5: Calcule teta = arccos(0,7679) ≈ 39,8°. Pequena diferença no cosseno (0,7686 na alternativa C, contra 0,7679 pelo cálculo direto) não altera o ângulo arredondado. Conclusão: a alternativa C está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A usa arcsin, que daria cerca de 50,2°, em vez de arccos; B inverte a definição de beta, que é v/c e não c/v; D confunde o ângulo com o próprio cosseno e usa uma fórmula sem sentido; E afirma que não há emissão porque beta é menor que n, mas a condição correta é beta·n maior que 1, e aqui ela é satisfeita.
💡 Dica: Calcule ß e ? antes de encontrar o ângulo.
Alternativa por alternativa
O aluno aplica arcsin diretamente ao valor 1/(beta·n), como se a fórmula fosse teta = arcsin(cos teta), trocando a função inversa correta (arccos). Isso daria um ângulo de cerca de 50°, que não corresponde ao resultado.
Por que engana: Confundir a relação entre velocidade e índice de refração, aplicando a fórmula de forma incorreta.
O aluno inverte a definição de beta, escrevendo beta = c/v em vez de beta = v/c. Assim, beta ficaria maior que 1, o que é fisicamente impossível para uma partícula com massa.
Compute ?=(2000+511)/511˜4,915; ß=v(1-1/?²)˜0,9791; then cos?=1/(ßn)˜0,7686 ? ?˜39,8°.
O aluno confunde o ângulo com o cosseno e escreve teta = 90° - cos(teta), misturando grandezas e funções diferentes. Não há relação correta entre essas quantidades nessa forma.
O aluno acredita que a radiação Cherenkov só ocorre se beta for maior que n, ou que beta menor que n impede a emissão, e conclui que teta = 0°. Na verdade, a condição é beta·n maior que 1 (ou seja, velocidade da partícula maior que a velocidade da luz no meio), e ela é satisfeita aqui.
Raio-X da questão
radiação Cherenkov
avaliacao
cálculo de ângulos · energia cinética
Revisar a relação entre energia cinética e velocidade de partículas em meios materiais.
Confundir a relação entre velocidade e índice de refração, aplicando a fórmula de forma incorreta.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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