Para distinguir dois detalhes com separação angular ? = 0,05" em luz visível ? = 500 nm, qual o diâmetro…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
Para distinguir dois detalhes com separação angular ? = 0,05" em luz visível ? = 500 nm, qual o diâmetro mínimo D do espelho de um telescópio considerando o limite de difração D ˜ 1,22·?/? (? em rad)? Dê D em metros.
- A) ?=0,05"=0,05·4,84814×10^-6=2,42407×10^-7 rad; D=1,22·5,00×10^-7 / 2,42407×10^-7 ˜ 2,52 m.
- B) D = 1,22·?·?/p = 1,22·500 e-9 / p = 0,078 m
- C) D = 1,22·?·? = 1,22·10^-9/0,05 = 24,4 m
- D) D = 1,22·?/? = 1,22·500e-9/0,05 = 1,22 m
- E) D = 1,22·?/? = 1,22·500/0,05 = 12200 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identificar os dados. A separação angular é 0,05 segundos de arco (0,05"), o comprimento de onda é 500 nm (500 x 10^-9 m) e a fórmula de limite de difração é D = 1,22 x lambda / theta, com theta em radianos. Passo 2: Converter o ângulo para radianos. Sabe-se que 1 segundo de arco vale 4,84814 x 10^-6 rad, então theta = 0,05 x 4,84814 x 10^-6 = 2,42407 x 10^-7 rad. Passo 3: Converter o comprimento de onda para metros. 500 nm = 5,00 x 10^-7 m. Passo 4: Substituir na fórmula. D = 1,22 x 5,00 x 10^-7 / 2,42407 x 10^-7 = 1,22 x 2,0626 = aproximadamente 2,52 m. Passo 5: Conferir com o gabarito. O resultado obtido coincide com a alternativa A, que é o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: na B, a expressão usada não corresponde à fórmula de difração e o valor 0,078 m não sai de nenhuma conta coerente com os dados; na C, o ângulo foi multiplicado em vez de dividido e o comprimento de onda foi escrito com potência errada, resultando em 24,4 m; na D, o ângulo 0,05 foi usado diretamente como se já estivesse em radianos, sem conversão de segundos de arco, o que dá 1,22 m; na E, o comprimento de onda foi usado em nanômetros e o ângulo sem conversão, o que dá 12200 m, valor sem sentido físico.
💡 Dica: Converta a separação angular de segundos de arco para radianos e aplique o critério de difração.
Alternativa por alternativa
Converter arcseconds para radianos (1"=4,84814×10^-6 rad), aplicar D=1,22·?/? com ? em metros e ? em radianos e calcular D.
O aluno parece ter montado uma expressão que mistura o comprimento de onda com a separação angular de forma incorreta, sem perceber que a fórmula exige divisão pelo ângulo em radianos. O resultado 0,078 m não decorre de nenhum cálculo consistente com os dados.
O aluno multiplicou o comprimento de onda pela separação angular em vez de dividir, e ainda usou uma potência de 10 incorreta para o comprimento de onda. Isso mostra que ele não tem clara a relação de proporcionalidade inversa entre o diâmetro e o ângulo mínimo.
O aluno considerou que 0,05 segundos de arco equivalem a 0,05 radianos, ou seja, não converteu a unidade angular. Como o ângulo real é cerca de 200 mil vezes menor, o diâmetro encontrado fica subestimado.
Por que engana: O erro mais provável é usar a separação angular diretamente em segundos de arco, sem convertê-la para radianos, ou confundir o numerador e o denominador na fórmula.
O aluno usou 500 em nanômetros diretamente na fórmula, sem converter para metros, e também não converteu o ângulo de segundos de arco para radianos. Isso gera uma unidade inconsistente e um valor de 12200 m sem sentido para um telescópio.
Raio-X da questão
limite de difração angular
avaliacao
conversão de unidades angulares · resolução angular de telescópios
Revise o critério de Rayleigh e a conversão de segundos de arco para radianos.
O erro mais provável é usar a separação angular diretamente em segundos de arco, sem convertê-la para radianos, ou confundir o numerador e o denominador na fórmula.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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