Considere um sistema binário com M1 = 2,00×10^30 kg e M2 = 6,00×10^24 kg separados por a = 1,50×10^11 m. (a)…

Questão

Considere um sistema binário com M1 = 2,00×10^30 kg e M2 = 6,00×10^24 kg separados por a = 1,50×10^11 m. (a) Determine a posição do centro de massa medida a partir do centro de M1. (b) Calcule o período orbital T e as velocidades orbitais v1 e v2 em torno do CM. Use G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2. Apresente equações e cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Posição do centro de massa (a partir de M1): r_CM = a·M2/(M1+M2). Com M1+M2 ˜ 2,000006×10^30 kg: r_CM = 1,50×10^11·(6,00×10^24)/(2,000006×10^30) = 4,50×10^5 m. 2) Período orbital: T = 2p·v(a^3/[G(M1+M2)]) Calcule a^3 = 3,375×10^33 m^3; G(M1+M2)=6,67×10^-11·2,000006×10^30 = 1,334004×10^20 N·m^2/kg. Assim v(...)=5,0297×10^6 s e T = 2p·5,0297×10^6 = 3,1596×10^7 s ˜ 3,16×10^7 s ˜ 365,4 dias. 3) Velocidades em torno do CM: r1 = r_CM = 4,50×10^5 m; r2 = a - r1 ˜ 1,4999955×10^11 m. Velocidade v = 2pr/T. v1 = 2p·4,50×10^5 / 3,1596×10^7 = 8,94×10^-2 m/s ˜ 0,089 m/s. v2 = 2p·1,4999955×10^11 / 3,1596×10^7 = 2,98×10^4 m/s ˜ 2,98×10^4 m/s (˜29,8 km/s). Conclusão: o CM está a ˜4,50×10^5 m do centro de M1 (dentro da estrela), T ˜3,16×10^7 s (˜365,4 dias), v1 ˜0,089 m/s (pequena oscilação da estrela) e v2 ˜2,98×10^4 m/s. A oscilação v1 é a base física para detecção por velocidade radial (Doppler) de exoplanetas; sua amplitude depende da inclinação da órbita e precisão espectral.

Explicação

A posição do centro de massa é calculada levando em conta a relação entre as massas dos corpos e a distância que os separa, resultando em um valor que indica a localização do CM em relação a M1. O período orbital e as velocidades são obtidos a partir das leis de Kepler e da dinâmica gravitacional, utilizando a constante gravitacional e a soma das massas. Esses cálculos demonstram como os corpos se movem em torno do centro de massa, revelando a interação gravitacional entre eles.

Raio-X da questão

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