Uma bebida quente a T_0 = 80 °C esfria em ambiente T_env = 20 °C segundo T(t)=T_env+(T_0-T_env)e^{-k t}. Com k…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Realizar previsões, avaliar intervenções e/ou construir protótipos de sistemas térmicos que visem à sustentabilidade, considerando sua composição e os efeitos das variáveis termodinâmicas sobre seu funcionamento, considerando também o uso de tecnologias digitais que auxiliem no cálculo de estimativas e no apoio à construção dos protótipos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma bebida quente a T_0 = 80 °C esfria em ambiente T_env = 20 °C segundo T(t)=T_env+(T_0-T_env)e^{-k t}. Com k = 0,01 s?¹, determine o tempo t necessário para T = 40 °C. Use ln e dá valores em segundos.
- A) Valor de k não influencia, apenas temperaturas são relevantes.
- B) t=50 s, foi alterado pela não consideração do ln.
- C) t = -(1/k)·ln(40/20); o valor é 2,3 min.
- D) t foi calculado em minutos, não em segundos diretos.
- E) t = -(1/k)·ln((T-T_env)/(T_0-T_env)) = -(1/0,01)·ln(20/60) ˜ 1,10×10² s ˜ 1,83 min.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A função dada é T(t) = T_env + (T_0 - T_env)·e^(-kt), com T_env = 20 °C, T_0 = 80 °C e k = 0,01 s^-1 (a unidade de k deve ser s^-1 para que kt seja adimensional). Passo 2: Substitui-se T = 40 °C na equação: 40 = 20 + 60·e^(-kt). Passo 3: Isola-se a exponencial: 20 = 60·e^(-kt), logo e^(-kt) = 1/3. Passo 4: Aplica-se o logaritmo natural nos dois lados: -kt = ln(1/3), ou seja, t = -(1/k)·ln(1/3) = -(1/k)·ln(20/60). Passo 5: Calcula-se: t = -(1/0,01)·ln(1/3) = 100·ln3 ≈ 100·1,0986 ≈ 109,9 s, que é aproximadamente 1,10×10² s. Convertendo para minutos: 109,9/60 ≈ 1,83 min. Passo 6: A alternativa E está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque k controla a velocidade do resfriamento e, portanto, influencia o tempo. A alternativa B está errada porque 50 s não corresponde ao cálculo correto, que resulta em cerca de 109,9 s. A alternativa C está errada porque usa a razão 40/20 em vez de (T - T_env)/(T_0 - T_env), e o valor 2,3 min também não corresponde à expressão apresentada. A alternativa D está errada porque o cálculo com k em s^-1 fornece o resultado diretamente em segundos, e os minutos são apenas uma conversão posterior.
💡 Dica: Aplique a fórmula de resfriamento e resolva para t.
Alternativa por alternativa
Acredita que a constante k não altera o tempo de resfriamento, pensando que somente as temperaturas importam. Ignora que k define a velocidade com que a diferença de temperatura decai exponencialmente.
Obtém um valor numérico incorreto (50 s) por erro no tratamento do logaritmo ou da divisão por k, como se o resultado fosse metade do correto. Não percebe que ln(1/3) em módulo é cerca de 1,10 e não 0,5.
Por que engana: Confundir a aplicação do logaritmo natural na fórmula, resultando em um valor incorreto para o tempo.
Usa a razão T/T_env (40/20) dentro do logaritmo, em vez da razão de diferenças (T - T_env)/(T_0 - T_env). Esquece que o decaimento é em relação à temperatura ambiente, não ao zero absoluto ou à temperatura ambiente como divisor simples.
Confunde a unidade do resultado: acredita que, por ter sido obtido um valor em minutos, o cálculo foi feito em minutos. Na verdade, como k está em s^-1, o resultado já sai em segundos e a conversão para minutos é apenas uma informação adicional.
Aplicando T(t) e isolando t: (T-T_env)/(T_0-T_env)=e^{-kt}; t=-(1/k)ln(...). Substituindo: t=-100·ln(1/3)˜109,9 s ˜1,83 min.
Raio-X da questão
resfriamento de Newton
avaliacao
função exponencial · logaritmos
Revisar a lei do resfriamento de Newton e logaritmos.
Confundir a aplicação do logaritmo natural na fórmula, resultando em um valor incorreto para o tempo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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