No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(2,1), B(8,5) e C(5,13). Seja M o ponto médio de AB e N o…

Questão

No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(2,1), B(8,5) e C(5,13). Seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de AC. a) Determine M e N. b) Mostre que MN é paralelo a BC e calcule |MN|. c) Calcule o perímetro e a área do triângulo AMN.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) M = ((2+8)/2,(1+5)/2) = (5,3). N = ((2+5)/2,(1+13)/2) = (3.5,7). b) Vetor BC = C-B = (5-8,13-5) = (-3,8). Vetor MN = N-M = (3.5-5,7-3) = (-1.5,4) = 1/2(-3,8), logo MN ? BC e |MN| = (1/2)|BC|. |BC| = v(9+64) = v73, então |MN| = v73/2. c) Distâncias: AM = v[(5-2)²+(3-1)²] = v13. AN = v[(3.5-2)²+(7-1)²] = v(2.25+36) = v(153)/2. MN = v73/2. Perímetro AMN = v13 + (v153)/2 + (v73)/2. Área: a área de AMN é 1/4 da área de ABC (teorema dos pontos médios). Área ABC = |(8-2)(13-1) - (5-2)(5-1)|/2 = |72-12|/2 = 30. Assim área AMN = 30/4 = 7,5.

Explicação

Os cálculos dos pontos médios M e N foram realizados corretamente utilizando a fórmula do ponto médio, e a paralelidade de MN com BC foi demonstrada através da relação entre os vetores. O perímetro e a área do triângulo AMN foram obtidos com base nas distâncias calculadas e na aplicação do teorema dos pontos médios, que garante que a área de AMN é um quarto da área de ABC. Assim, todos os passos estão fundamentados em conceitos geométricos e fórmulas adequadas, resultando em uma solução precisa.

Raio-X da questão

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