No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(1,1), B(7,1) e C(4,7). Seja M o ponto médio de AB e N o…

Questão

No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(1,1), B(7,1) e C(4,7). Seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de AC. Determine as coordenadas de M e N, calcule a área do triângulo ABC e mostre que o segmento MN é paralelo a BC e tem metade do comprimento de BC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

M=((1+7)/2,(1+1)/2)=(4,1). N=((1+4)/2,(1+7)/2)=(5/2,4). 2) Base AB=6 (entre x=1 e x=7); altura relativa a AB é diferença de y entre C e AB: 7-1=6. Área = (base·altura)/2 = (6·6)/2 = 18. 3) Vetor BC = C-B = (4-7,7-1) = (-3,6). Vetor MN = N-M = (5/2-4,4-1) = (-3/2,3) = (1/2)(-3,6) = (1/2)·BC. Assim MN é paralelo a BC e |MN| = (1/2)|BC| (por escala do vetor).

Explicação

As coordenadas dos pontos médios M e N foram corretamente calculadas utilizando a fórmula do ponto médio. A área do triângulo foi obtida através da fórmula da área em função da base e da altura, que foi determinada pela diferença das coordenadas. A relação entre os vetores MN e BC demonstra que MN é paralelo a BC e que seu comprimento é a metade do comprimento de BC, confirmando a propriedade dos segmentos que ligam os pontos médios dos lados de um triângulo.

Raio-X da questão

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