No plano cartesiano, considere um losango cujas diagonais têm extremidades A(1,1) e C(5,7) para uma diagonal…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, considere um losango cujas diagonais têm extremidades A(1,1) e C(5,7) para uma diagonal AC; a outra diagonal BD tem comprimento 10. Determine o ponto médio M de AC e a medida do lado do losango.
- A) M(3,4); lado = v38
- B) M(4,5); lado = 30
- C) M(3,6); lado = 15
- D) M(4,4); lado = 20
- E) M(2,5); lado = 10
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Ponto médio de AC. Com A(1,1) e C(5,7), M = ((1+5)/2, (1+7)/2) = (3,4). Passo 2: Comprimento de AC. Distância entre A e C: raiz de (5-1)^2 + (7-1)^2 = raiz de 16 + 36 = raiz de 52 = 2 raiz de 13, portanto a metade de AC é raiz de 13. Passo 3: Propriedades do losango. As diagonais de um losango se cruzam no ponto médio e são perpendiculares entre si, formando quatro triângulos retângulos congruentes. Os catetos desses triângulos são metade de cada diagonal. Passo 4: Metade da outra diagonal. Como BD = 10, a metade de BD é 5. Passo 5: Lado pelo teorema de Pitágoras. Lado^2 = (raiz de 13)^2 + 5^2 = 13 + 25 = 38, logo lado = raiz de 38. Passo 6: Conclusão. A alternativa A traz M(3,4) e lado = raiz de 38, o que confere com os cálculos, e por isso o gabarito A está correto. Passo 7: Por que as outras estão erradas. B traz ponto médio (4,5), que não corresponde à média das coordenadas de A e C; C traz (3,6), com ordenada errada; D traz (4,4), que não é o ponto médio; E traz (2,5), que também não é o ponto médio e ainda confunde o lado com a diagonal BD de medida 10.
💡 Dica: Calcule o ponto médio de AC e use as diagonais perpendiculares do losango para encontrar o lado.
Alternativa por alternativa
Média das coordenadas dá M=(3,4). AC=v52=2v13, então AC/2=v13; em losango diagonais são perpendiculares e se bissetam, lado²=(AC/2)²+(BD/2)²=13+25=38.
O aluno calcula o ponto médio com erro na média das coordenadas, obtendo (4,5) em vez de (3,4). Além disso, dá o lado como 30, sem aplicar corretamente o teorema de Pitágoras com as metades das diagonais.
Por que engana: O aluno pode calcular incorretamente o ponto médio ou esquecer que as diagonais do losango se bissetam perpendicularmente, usando comprimentos inteiros em vez de suas metades no Teorema de Pitágoras.
O aluno erra a ordenada do ponto médio, obtendo 6 em vez de 4, provavelmente usando valores de coordenadas de forma incorreta. Na sequência, obtém lado = 15, sem relacionar as metades das diagonais ao lado do losango.
O aluno calcula M como (4,4), indicando erro na soma ou divisão das coordenadas. Também considera o lado igual a 20, o que indica que usou a diagonal inteira ou um produto de medidas em vez da hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas metades.
O aluno confunde o lado do losango com a diagonal BD, atribuindo lado = 10 porque essa é a medida dada no enunciado. Também calcula o ponto médio de forma incorreta, obtendo (2,5).
Raio-X da questão
Diagonais e lado do losango
avaliacao
Fórmula do ponto médio · Teorema de Pitágoras
Revise o cálculo do ponto médio e a relação entre as diagonais perpendiculares e os lados do losango.
O aluno pode calcular incorretamente o ponto médio ou esquecer que as diagonais do losango se bissetam perpendicularmente, usando comprimentos inteiros em vez de suas metades no Teorema de Pitágoras.
tomada_decisao
abstrato
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