No plano cartesiano, considere o quadrilátero ABCD com A(1,2), B(7,2) e C(5,9). Sabe-se que as diagonais AC e…

Questão

No plano cartesiano, considere o quadrilátero ABCD com A(1,2), B(7,2) e C(5,9). Sabe-se que as diagonais AC e BD se cruzam em seu ponto médio M. Determine as coordenadas de D e calcule a área do quadrilátero ABCD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Encontre o ponto médio M de AC: M = ((1+5)/2, (2+9)/2) = (3, 5,5). 2) Como M é também o ponto médio de BD, temos ((7+x_D)/2, (2+y_D)/2) = (3,5,5). Logo x_D = 2·3-7 = -1 e y_D = 2·5,5-2 = 9. Assim D(-1,9). 3) Vetores AB = B-A = (6,0) e AD = D-A = (-2,7). 4) Área do paralelogramo (quadrilátero) = |det([AB,AD])| = |6·7 - 0·(-2)| = 42. Portanto D(-1,9) e área = 42 unidades².

Explicação

A solução envolve encontrar o ponto médio das diagonais, utilizando a propriedade de que elas se cruzam nesse ponto. A partir das coordenadas de A, B e C, é possível determinar as coordenadas de D, garantindo que M seja o mesmo para ambas as diagonais. A área do quadrilátero é então calculada usando o determinante dos vetores formados pelos pontos, resultando na área correta do quadrilátero.

Raio-X da questão

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