No plano cartesiano, considere o trapézio com vértices A(2,1), B(10,1), C(8,5) e D ponto médio de AC. Calcule…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, considere o trapézio com vértices A(2,1), B(10,1), C(8,5) e D ponto médio de AC. Calcule o perímetro do trapézio ABCD.
- A) P = 10 + 10v2
- B) P = 20; CD = 8
- C) P = 12 + v13
- D) P = AB+BC+CD+DA = 8 + 2v5 + v13 + v13 = 8 + 2v5 + 2v13.
- E) P = 6 + 4v5
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Encontrar D, ponto médio de AC. D = ((2+8)/2, (1+5)/2) = (5,3). Passo 2: Calcular os lados. AB vai de (2,1) a (10,1), então AB = 8. BC vai de (10,1) a (8,5), então BC = raiz de (4+16) = raiz de 20 = 2 raiz de 5. CD vai de (8,5) a (5,3), então CD = raiz de (9+4) = raiz de 13. DA vai de (5,3) a (2,1), então DA = raiz de (9+4) = raiz de 13. Passo 3: Somar os lados. P = 8 + 2 raiz de 5 + raiz de 13 + raiz de 13 = 8 + 2 raiz de 5 + 2 raiz de 13, valor aproximado de 19,68. Passo 4: Comparar com o gabarito. A alternativa D coincide exatamente com esse resultado, então o gabarito está correto. Observação: D está sobre AC, ou seja, A, D e C são colineares, e os lados AB, BC, CD e DA não formam um trapézio de fato (não há lados paralelos). A figura é, na prática, o triângulo ABC com D sobre um de seus lados, mas a soma dos quatro segmentos, na ordem dada, ainda é o perímetro pedido. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A) P = 10 + 10 raiz de 2, cerca de 24,1, não corresponde à soma real dos segmentos. B) Afirma CD = 8, mas CD = raiz de 13, e o perímetro 20 não bate com 19,68. C) P = 12 + raiz de 13, cerca de 15,6, ignora um dos lados e subestima a soma. E) P = 6 + 4 raiz de 5, cerca de 14,9, decorre de distâncias mal calculadas.
💡 Dica: Calcule as distâncias entre os vértices para encontrar o perímetro.
Alternativa por alternativa
Provavelmente calculou distâncias incorretamente, atribuindo valores irreais a alguns lados e chegando a um termo com raiz de 2 que não aparece em nenhuma distância da figura.
Por que engana: O aluno pode confundir a soma dos lados do trapézio, esquecendo de calcular corretamente a distância entre os pontos no plano cartesiano.
Supôs que CD teria o mesmo comprimento de AB (8), confundindo lados opostos de um trapézio com lados quaisquer e sem verificar a distância entre C e D.
Somou apenas um dos segmentos com raiz de 13 e deixou de considerar corretamente os demais lados, o que indica soma incompleta dos quatro lados.
D é ((2+8)/2,(1+5)/2)=(5,3). AB=10-2=8. BC=v[(8-10)²+(5-1)²]=v20=2v5. CD entre (8,5) e (5,3)=v13; DA entre (5,3) e (2,1)=v13. Soma = 8+2v5+2v13.
Errou os comprimentos de AB e CD (usando 3 em vez de 8 e de raiz de 13) e tratou BC e DA como 2 raiz de 5 cada, mostrando erro na diferença de coordenadas ao aplicar a distância entre pontos.
Raio-X da questão
perímetro de trapézio
avaliacao
cálculo de perímetro · teorema de Pitágoras
Revisar como calcular o perímetro de figuras geométricas.
O aluno pode confundir a soma dos lados do trapézio, esquecendo de calcular corretamente a distância entre os pontos no plano cartesiano.
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cientifico
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