No plano cartesiano, considere o rombo ABCD com vértices A(1,1), B(5,4), C(9,1) e D(5,-2), nessa ordem…

Questão

No plano cartesiano, considere o rombo ABCD com vértices A(1,1), B(5,4), C(9,1) e D(5,-2), nessa ordem. Determine: a) os pontos médios de AC e de BD; b) as medidas dos segmentos AC e BD; c) mostre que os pontos médios coincidem e explique o que isso indica sobre a figura; d) calcule o perímetro do rombo; e) calcule a área da figura. Resolva sem recorrer a fórmulas prontas, justificando cada passo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) AC liga A(1,1) a C(9,1). Como A e C têm mesma ordenada y=1, o ponto médio fica no ponto entre x=1 e x=9, isto é (5,1). BD liga B(5,4) a D(5,-2). Como B e D têm mesma abscissa x=5, o ponto médio tem x=5 e y entre 4 e -2, isto é (5,1). b) AC é horizontal entre x=1 e x=9, portanto comprimento AC = |9-1| = 8. BD é vertical entre y=4 e y=-2, portanto BD = |4-(-2)| = 6. c) Os pontos médios de AC e BD são ambos O(5,1), logo coincidem. Em um rombo as diagonais se cruzam no mesmo ponto médio; a coincidência indica que as diagonais se bissetam (cada uma é dividida em dois segmentos iguais) e o ponto comum é o centro da figura. d) Calcule um lado, por exemplo AB: A(1,1) a B(5,4) tem variação ?x=4 e ?y=3, então AB = v(4²+3²) = v(16+9) = v25 = 5. Todos os lados do rombo têm mesmo comprimento, logo perímetro = 4·5 = 20. e) As diagonais AC e BD são perpendiculares e se cruzam em O dividindo-se em metades: metade de AC = 8/2 = 4 e metade de BD = 6/2 = 3. O rombo pode ser dividido em 4 triângulos retângulos congruentes cuja área de cada um é (base·altura)/2 = (4·3)/2 = 6. Somando os quatro triângulos, área = 4·6 = 24. (Cálculo direto: área = (AC·BD)/2 = (8·6)/2 = 24.)

Explicação

A explicação apresenta um raciocínio lógico e detalhado para cada item da questão, demonstrando a relação entre os pontos e as propriedades do rombo. A coincidência dos pontos médios das diagonais confirma que elas se bissetam, um traço característico dessa figura. Além disso, o cálculo do perímetro e da área é realizado de forma clara, utilizando as propriedades geométricas dos triângulos formados pelas diagonais.

Raio-X da questão

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