Dado um segmento AB de comprimento s>0 e um ponto O no plano, descreva em etapas um algoritmo usando régua e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dado um segmento AB de comprimento s>0 e um ponto O no plano, descreva em etapas um algoritmo usando régua e compasso que construa um hexágono regular convexo inscrito em um círculo de centro O cujo lado mede s. Indique a expressão do raio R em função de s.
- A) R = s/(sin(p/8)); Vértices: (R cos(2pk/8), R sin(2pk/8)).
- B) R = s; Vértices: (s cos(2pk/8), s sin(2pk/8)).
- C) R = s/(4 sin(p/8)); Vértices: (R cos(2pk/8), R sin(2pk/8)).
- D) R = 2s; Vértices: (2s cos(2pk/8), 2s sin(2pk/8)).
- E) Traçar círculo de centro O e raio s; marcar A no círculo; com compasso abertura s marcar cinco pontos sucessivos a partir de A; ligar os seis pontos em ordem. R = s.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Seja R o raio do círculo circunscrito. No hexágono regular, o ângulo central entre dois vértices consecutivos é 360/6 = 60 graus. O triângulo formado por O e dois vértices consecutivos tem OA = OB = R e ângulo de 60 graus entre eles, logo é equilátero e AB = R. Portanto R = s. Passo 2: Verificação pela lei dos cossenos: s^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 cos(60 graus) = R^2, logo s = R. Passo 3: Construção: trace o círculo de centro O e raio s e marque o ponto A sobre ele. Abra o compasso em s e, a partir de A, marque sucessivamente pontos sobre a circunferência. Cada arco de raio s corta o círculo a uma corda de comprimento s, ou seja, a 60 graus do ponto anterior. Cinco marcações dão os pontos B1 a B5 (em 60, 120, 180, 240 e 300 graus), e o último trecho de B5 retorna a A, fechando as seis posições. Passo 4: Ligue os seis pontos na ordem em que foram marcados; obtém-se o hexágono regular convexo inscrito no círculo. Passo 5: Alternativa A: a fórmula R = s/sin(pi/8) e os ângulos 2pi k/8 pertencem a um octógono, não a um hexágono; o raio correto é R = s. Alternativa B: acerta R = s, mas os vértices usam passos de 45 graus (2pi/8), gerando oito pontos, e não seis; o passo correto é 2pi/6. Alternativa C: a expressão R = s/(4 sin(pi/8)) não corresponde a nenhuma relação do hexágono regular e também usa ângulos de octógono. Alternativa D: R = 2s confunde o raio com o diâmetro, pois o diâmetro é 2R = 2s, não o raio.
💡 Dica: Use a relação entre o lado de um hexágono regular inscrito e o raio do círculo; cada lado subtende um ângulo central de 60°.
Alternativa por alternativa
Aplicou fórmulas e ângulos de octógono (45 graus) em vez de relacionar o lado ao raio pelo ângulo central de 60 graus do hexágono.
Acertou o valor de R = s, mas não percebeu que os vértices de um hexágono estão separados por 60 graus (2pi/6), e não por 2pi/8 como em um octógono.
Por que engana: Confundir a quantidade de divisões da circunferência e usar ângulo central de 45° em vez de 60°, concluindo que o raio não é igual ao lado.
Supôs uma relação trigonométrica com pi/8 e um fator 4 sem base geométrica, confundindo a relação lado-raio do hexágono com a de um polígono de oito lados.
Confundiu o raio com o diâmetro: o diâmetro do círculo é 2R, e como R = s, o diâmetro é 2s, não o raio.
No hexágono regular cada lado é uma corda que subtende 60°; para n=6 a corda de comprimento s coincide com o raio do círculo circunscrito, portanto R = s. Marcar com compasso com abertura s ao longo do círculo produz vértices equidistantes.
Raio-X da questão
Hexágono regular inscrito
avaliacao
Propriedades de polígonos regulares · Construções com régua e compasso
Revise a relação entre o raio da circunferência e o lado de um polígono regular inscrito, além da construção com compasso.
Confundir a quantidade de divisões da circunferência e usar ângulo central de 45° em vez de 60°, concluindo que o raio não é igual ao lado.
tomada_decisao
abstrato
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