A partir de um segmento de medida s>0, descreva por escrito e em fluxograma um algoritmo usando régua e…

Questão

A partir de um segmento de medida s>0, descreva por escrito e em fluxograma um algoritmo usando régua e compasso para construir um pentágono regular convexo (n=5) com lado s. Inclua a construção do centro, a determinação do raio R em função de s e a justificativa geométrica (valores exatos em radicais quando necessário).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Passos (verificados geometricamente): 1) Entrada: segmento AB de comprimento s. 2) Calcular simbolicamente R = s/(2·sin(36°)); note sin(36°) = v(10-2v5)/4, logo R = 2s/v(10-2v5). 3) Construir v5 geometricamente: a) trace segmento de comprimento 1 (escalone conforme s) e construa um pentágono isósceles auxiliar ou use diagonal de pentágono padrão; obter v5 com compasso/retas (construção clássica por propriedades do retângulo e teorema de Pitágoras). 4) A partir de v5 construa t = 10 - 2v5 e então u = vt; em seguida construa R = 2s/u por operações de soma, multiplicação e divisão geométricas (projeções e semelhanças). 5) Com régua e compasso, escolha um ponto O e trace o círculo de centro O e raio R. 6) Marque um ponto P na circunferência; com compasso, transfira o comprimento s ao redor da circunferência: usando o passo do compasso com abertura s, do ponto P intersecte a circunferência em Q, depois de Q em R etc., obtendo cinco vértices P,Q,R,S,T; verifique que cada corda PQ = s. 7) Ligue os cinco vértices para obter o pentágono regular; o centro O é o circuncentro e os ângulos centrais medem 72° = 2p/5. Fluxograma (texto): Início ? Ler s ? Calcular R = 2s/v(10-2v5) (construir radical geometricamente) ? Desenhar círculo centro O raio R ? Marcar um ponto P na circunferência ? Repetir 4 vezes: abrir compasso em s e marcar próximo vértice ? Ligar vértices ? Fim. Justificativa: s = 2R·sin(p/5) é a relação corda–raio; expressões em radicais permitem construir R com régua e compasso porque v5 e raízes quadradas compostas são construtíveis; transferindo s como corda ao longo da circunferência obtém-se os vértices do pentágono regular.

Explicação

A construção do pentágono regular é fundamentada em propriedades geométricas que permitem determinar o raio do círculo circunscrito e os vértices do pentágono a partir de um segmento de comprimento s. A utilização de relações trigonométricas e a construção de raízes quadradas garantem que todos os passos sejam executáveis com régua e compasso, respeitando as limitações da geometria clássica. Além disso, a justificativa apresentada demonstra a conexão entre o comprimento da corda e o raio, essencial para garantir a regularidade do pentágono.

Raio-X da questão

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