Dado um segmento de comprimento a>0, apresente um algoritmo com régua e compasso para construir um pentágono…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dado um segmento de comprimento a>0, apresente um algoritmo com régua e compasso para construir um pentágono regular de lado a. Inclua a expressão algébrica que relaciona o raio circunscrito R ao lado a.
- A) Uso de uma régua apenas para medir; a construção não requer circunferência.
- B) Calcular R = a/2; traçar a circunferência e marcar cinco pontos a cada 90°.
- C) Traçar um triângulo equilátero e usar sua circunferência para localizar os vértices do pentágono.
- D) Construir um hexágono e tentar usar os lados desse hexágono para criar um pentágono.
- E) Calcular R = a/(2 sin(p/5)). Construir geometricamente a razão áurea para localizar o centro relativo ao lado, traçar a circunferência de raio R, marcar cinco pontos separados por 72° e unir em ordem.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- No pentágono regular de lado a, cada lado subtende um ângulo central de 360/5 = 72 graus. Ligando o centro O aos extremos de um lado, obtém-se um triângulo isósceles com lados R, R e base a, e ângulo do vértice 72 graus. Traçando a altura até o ponto médio do lado, cada metade da base (a/2) vale R sen 36 graus, pois o ângulo na base mede 36 graus. Logo a/2 = R sen 36 graus. Passo 2: Como 36 graus = p/5 radianos, a expressão é R = a/(2 sen(p/5)), que é a relação pedida. Passo 3: Construção: (1) trace o segmento de comprimento a; (2) obtenha geometricamente um segmento de comprimento R, usando a razão áurea, pois sen 36 graus está ligado a ela; (3) com centro em O e raio R, trace a circunferência; (4) a partir de um ponto dela, marque cinco pontos consecutivos separados por 72 graus, com o compasso; (5) una os pontos em ordem para obter o pentágono, cujo lado deve ser conferido com o segmento a. Passo 4: A alternativa A está errada porque a régua sozinha não constrói nada com precisão, e a circunferência é essencial. A alternativa B está errada porque R = a/2 não é a relação correta e 90 graus gera um quadrado, não um pentágono. A alternativa C está errada porque um triângulo equilátero gera vértices a 120 graus, e não a 72 graus. A alternativa D está errada porque o hexágono regular tem divisões de 60 graus e seus lados não geram diretamente os vértices de um pentágono. Passo 5: O gabarito E está correto na relação e no procedimento. Uma ressalva: a frase sobre localizar o centro relativo ao lado pela razão áurea é imprecisa, pois o centro é determinado pela própria circunferência de raio R, e a razão áurea serve para obter R.
💡 Dica: Descreva os passos da construção geométrica e a relação entre R e a.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que basta medir com a régua para obter o pentágono, sem precisar de circunferência ou de ângulos. Ignora que a construção com régua e compasso exige marcar ângulos centrais iguais.
O aluno supõe que o raio é metade do lado e que cinco pontos a cada 90 graus formam um pentágono. Confunde a relação do raio com a do lado e confunde o ângulo central de um pentágono (72 graus) com o de um quadrado (90 graus).
Por que engana: Confundir a relação entre o raio circunscrito e o lado do pentágono, utilizando a fórmula errada para calcular R.
O aluno pensa que a circunferência do triângulo equilátero serve para localizar os vértices do pentágono. Não percebe que o triângulo equilátero divide a circunferência em partes de 120 graus, incompatíveis com 72 graus.
O aluno acredita que os lados do hexágono podem ser reaproveitados para formar um pentágono. Ignora que o hexágono regular divide a circunferência em partes de 60 graus, e não em 72 graus.
Num polígono regular de n lados o comprimento do lado s relaciona-se ao raio R por s = 2R sin(p/n); para n=5 temos R = s/(2 sin(p/5)). A pentagonal é construtível com régua e compasso usando construções que envolvem a razão áurea f=(1+v5)/2.
Raio-X da questão
construção de pentágono
avaliacao
construção de polígonos regulares · propriedades de triângulos e circunferências
Revisar as propriedades dos polígonos regulares e suas construções com régua e compasso.
Confundir a relação entre o raio circunscrito e o lado do pentágono, utilizando a fórmula errada para calcular R.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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