Um observador está em um ponto A no chão a uma distância x da base de uma torre; o ângulo de elevação ao topo…

Questão

Um observador está em um ponto A no chão a uma distância x da base de uma torre; o ângulo de elevação ao topo é 30°. Ao aproximar-se 8 m na direção da base, o ângulo passa a 45°. Determine a altura h da torre e apresente todos os passos algébricos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja x a distância inicial da base ao ponto A e h a altura da torre. Pelo triângulo retângulo no ponto inicial: tan30° = h/x ? h = x·tan30° = x·(v3/3). Ao aproximar-se 8 m, a nova distância é x-8 e tan45° = h/(x-8) ? 1 = h/(x-8) ? h = x-8. Igualando as duas expressões para h: x-8 = x·(v3/3). Isolando x: x(1 - v3/3) = 8 ? x = 8 / (1 - v3/3). Simplifique o denominador: 1 - v3/3 = (3-v3)/3, então x = 8·3/(3-v3) = 24/(3-v3). Racionalizando: x = 24(3+v3)/(9-3) = 24(3+v3)/6 = 4(3+v3) = 12 + 4v3. Então h = x - 8 = (12 + 4v3) - 8 = 4 + 4v3. Resultado exato: h = 4 + 4v3 ˜ 10,928 m. Apresente os passos: definição das relações trigonométricas, substituição, resolução algébrica e racionalização do denominador.

Explicação

A solução utiliza relações trigonométricas para estabelecer duas equações que representam a altura da torre em função da distância do observador. A igualdade das duas expressões para a altura permite isolar a variável x, levando à determinação da altura h após simplificações e racionalizações. O resultado final é obtido ao substituir x na expressão de h, garantindo que todas as etapas algébricas sejam seguidas corretamente.

Raio-X da questão

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