Em uma simulação de deslocamento de um robô em uma área de atendimento, o sistema registra uma distância…

Questão

Em uma simulação de deslocamento de um robô em uma área de atendimento, o sistema registra uma distância inicial de 10 metros. A cada etapa, o robô realiza um novo deslocamento perpendicular de 8 metros ao deslocamento resultante da etapa anterior. Por isso, o módulo da distância resultante é calculado pelo teorema de Pitágoras, conforme a relação a_{n+1}=v(a_n²+8²), para n=1. Considerando o modelo apresentado no texto-base, em que a_1=10 e a_{n+1}=v(a_n²+8²), para n=1, calcule a_3, mostrando os cálculos algébricos.

1. A) a_3=√388
2. B) a_3=√236
3. C) a_3=√164
4. D) a_3=100
5. E) a_3=2√57

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados. O primeiro termo é a_1 = 10 e a relação de recorrência é a_(n+1) = raiz(a_n^2 + 8^2), com 8^2 = 64. O enunciado diz 'para n=1', mas o cálculo de a_3 exige aplicar a mesma relação também para n=2, que é a leitura usual do modelo (a distância sempre se combina com um novo deslocamento perpendicular de 8 metros). Essa é a interpretação adotada aqui.
2. Calcule a_2 com n=1. a_2 = raiz(a_1^2 + 64) = raiz(10^2 + 64) = raiz(100 + 64) = raiz(164).
3. Calcule a_3 com n=2. a_3 = raiz(a_2^2 + 64). Como a_2^2 = 164, temos a_3 = raiz(164 + 64) = raiz(228).
4. Simplifique o radical. 228 = 4 * 57, logo raiz(228) = raiz(4) * raiz(57) = 2 raiz(57). Portanto a_3 = 2 raiz(57), que é a alternativa E.
5. Compare com o gabarito. Minha resolução coincide com o gabarito oficial (E).
6. Por que as outras estão erradas. A) raiz(388) surgiria de uma a_2 igual a 18, o que não respeita o teorema de Pitágoras. B) raiz(236) não decorre de nenhum passo correto da recorrência. C) raiz(164) é apenas o valor de a_2, então é uma parada antes da segunda etapa. D) 100 é o valor inicial a_1, o que não faz sentido, pois cada deslocamento perpendicular aumenta o módulo da distância.

💡 Dica: Calcule a_2 antes de encontrar a_3.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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